sunnuntai, 6. maaliskuu 2016

Unohdushuone

Työpaikalla erään palaverin aikana Hullun Metafyysikon ajatukset eksyivät taas kerran ajan arvoituksiin. Tähän ajatusten suuntaan saattoi vaikuttaa kokoustilan kello, joka näyttää kokousten aikana mystisesti pysähtyvän.

Tarkastellaan ”unohdushuoneeksi” nimettyä huonetta, joka on täytetty muistinmenetyksen aiheuttavalla kaasulla. Tämä mystinen kaasu saa huoneessa olijan unohtamaan kaikki minuuttia vanhemmat tapahtumat. Huoneessa olija siis muistaa hetken jolloin astui huoneeseen, ja lisäksi viimeisimmän huoneessa viettämänsä minuutin.

Oletetaan, että arvoisa lukija tietää joutuvansa viettämään huoneessa kaikkiaan kymmenen minuuttia. Jos olet huoneessa juuri nyt, kuinka kauan olet todennäköisesti jo ollut siellä? Sinusta tuntuu, että olet viettänyt huoneessa vasta yhden minuutin. Mutta unohduskaasun vuoksi sinusta tuntuu jokaisen minuutin aikana samalta. Todennäköisyys, että juuri tämä minuutti on oikeasti ensimmäinen näyttää siis olevan 10%.

Jos taas tiedät joutuvasi viettämään huoneessa kaikkiaan sata minuuttia, näyttää olevan vain 1% mahdollisuus, että vietät siellä oikeasti ensimmäistä minuuttiasi. Ja niin edelleen: mitä pidemmäksi huoneessa viettämääsi kokonaisaikaa kasvatetaan, sitä pienemmällä todennäköisyydellä juuri tämä minuutti on oikeasti ensimmäinen.

Entäpä jos joudut olemaan huoneessa äärettömän kauan? (Tässä voisi olla kyseessä ilkikurisen Jumalan versio ikuisesta helvetistä.) Nyt näyttää olevan äärettömän pieni (infinitesimaalinen) todennäköisyys, että olet ollut huoneessa oikeasti vasta yhden minuutin. Ja sama päätelmä voidaan toistaa sijoittamalla minuutin paikalle mikä tahansa äärellinen ajanjakso. On infinitesimaalisen epätodennäköistä, että olet ollut huoneessa alle vuoden, tai alle miljoona vuotta, tai alle miljardi biljoonaa triljoonaa vuotta. Voimmeko siis päätellä, että olet jo nyt ollut huoneessa todennäköisesti äärettömän kauan?


Tämä eksoottinen ajatusleikki konkretisoituu nykyaikaisissa pohdinnoissa maailmankaikkeuden synnystä. Ikuisen inflaation teoria kuvailee eksponentiaalisesti laajenevaa virittynyttä tyhjiötä, joka synnyttää äärettömiä määriä ”kuplamaailmankaikkeuksia”. Inflaation ajatellaan käynnistyneen jostain alkupisteestä, josta meidän maailmankaikkeutemme sijaitsee ”mielivaltaisen kaukana”. Mutta kuinka pitkää aikaa ”mielivaltaisen kaukana” loppujen lopuksi tarkoittaa? Kosmisella inflaatiolla on kiusallinen taipumus tuhota kaikki tieto itseään edeltävistä tapahtumista ja niiden ajankohdista. Nykyhetken sijaintiin ikuisessa inflaatiossa näyttää siis liittyvän vastaava paradoksi kuin nykyhetken sijaintiin unohdushuoneessa.

Inflaatioteorian isä Alan Guth pohdiskelee kysymystä seuraavasti:

” ...if eternal inflation is a valid description of the universe (as I think it is), then I would expect that all such hypotheses about the ultimate beginning of the universe would become totally divorced from any observable consequences. Since our own pocket universe would be equally likely to lie anywhere on the infinite tree of universes produced by eternal inflation, we would expect to find ourselves arbitrarily far from the beginning. The infinite inflating network would presumably approach some kind of a steady state, losing all memory of how it started, so the statistical predictions for our universe would be determined by the properties of this steady state configuration, independent of hypotheses about the ultimate beginning.”

Tässä kohtaa asiat muuttuvat arkijärjen näkökulmasta vaikeasti hahmotettaviksi. Jos maailmankaikkeutemme sijaisee samalla todennäköisyydellä missä tahansa kohdassa äärettömän inflaatio-puun oksistossa, näyttää olevan todellakin äärettömän pieni todennäköisyys, että etäisyys puun alkukohtaan olisi mikään äärellinen ajanjakso. Jos etäisyytemme alusta on todellakin ääretön, tarkoittaako tämä, että mitään alkua ei loppujen lopuksi ole olemassa? Vai kätkeytyykö alku jonnekin kosmisen unohduksen syövereihin, lopullisesti inhimillisen käsityskykymme ulottumattomiin?

lauantai, 23. tammikuu 2016

Sielua etsimässä

Dualismi on mielenfilosofinen kanta, joka näkee mielen ja ruumiin erillisinä substansseina. (Substanssilla tarkoitetaan ”perusainesta”, oliota joka voi olla olemassa muista olioista riippumatta.) Länsimaisessa kulttuuripiirissämme tunnetuin esimerkki dualismista on kristinuskon käsitys sielusta, joka jatkaa olemassaoloaan ruumiin kuoleman jälkeen.

Dualismin puolesta ja sitä vastaan on esitetty monenlaisia argumentteja aina antiikin Kreikasta alkaen. Useimmat dualismia puolustavat argumentit perustuvat Leibnizin identiteettilakiin (Leibniz's law of identity). Tämän lain mukaan kaksi oliota ovat samat jos ja vain jos niillä on kaiken aikaa samat ominaisuudet. Argumenteissa etsitään sellaisia mielen ominaisuuksia, jotka eivät näytä vastaavan mitään ruumiin ominaisuuksia.

1600-luvun filosofi Descartes perusti erään argumenttinsa jaettavuuden (divisibility) käsitteeseen. Ihmisen ruumis on periaatteessa jaettavissa osiin (tämä lienee selvää jokaiselle kauhuelokuviin mieltyneelle). Mieli ja sen ilmiöt eivät sen sijaan ole jaettavissa osiin: ei tunnu järkevältä puhua esimerkiksi puolikkaasta päänsärystä tai puolikkaasta rakastumisesta. Identiteettilain mukaan mieli ja ruumis eivät siis voi olla yksi ja sama asia.

Argumentti jaettavuudesta on kohdannut monenlaisia vastaväitteitä. John Locken mukaan mieli tai tietoisuus on jaettavissa ainakin ajallisiin osiin, koska tietoisuus katkeaa unen ja tajuttomuuden aikana. David Humen mukaan käsitys yhtenäisen mielen olemassaolosta on hataralla pohjalla. Havainnoidessamme oman mielemme sisältöjä emme koskaan havaitse mitään yhtenäistä minuutta; havaitsemme vain kokoelman erilaisia ajatuksia, tunteita ja aistimuksia. Argumentti mielen jakamattomuudesta epäonnistuu, koska mielen tulkitseminen yhtenäiseksi olioksi on alun perinkin perusteetonta.

Toinen Descartesin argumentti dualismin puolesta perustuu mielen ”epäilemättömyyteen” (indubitability). On periaatteessa mahdollista epäillä oman ruumiini olemassaoloa – havaitsemani aineellinen maailma saattaa olla unta tai virtuaalitodellisuutta. Oman mieleni olemassaolon epäileminen ei sen sijaan tunnu mahdolliselta. Koska ruumiini on epäiltävissä ja mieleni ei, ruumis ja mieli eivät identiteettilain perusteella voi olla yksi ja sama.

Argumentissa voidaan nähdä ongelmana tieto-opillisen ja ontologisen (olemassaoloa koskevan) väitteen sekoittaminen. Ruumiini olemassaolon epäiltävyys ei ole ruumiini ominaisuus, vaan tietämykseni ominaisuus. Vastaavalla tavalla voin epäillä onko kolmion kulmien summa aina 180 astetta, mutta epäilyni ei kertoisi kolmion ominaisuuksista, vaan oman geometrisen tietämykseni puutteellisuudesta.

Vastaavanlaisia Leibnizin identiteettilakiin perustuvia argumentteja on kehitelty lukemattomia. Mielen ja ruumiin perustavanlaatuisena erona voidaan nähdä esimerkiksi  mielen tilojen yksityisyys; aivojani voidaan periaatteessa havainnoida ulkoapäin miten tarkasti tahansa, mutta subjektiiviset tietoisuuden tilani (esimerkiksi väriaistimukset) ovat vain itseni havaittavissa. Perustavanlaatuisena erona voidaan nähdä myös totuusarvon olemassalo. Mielessäni sijaitsevat uskomukset voivat olla totta tai valhetta. Aineellisen maailman kappaleilla ei taas näytä vastaavaa totuusarvoa olevan; esimerkiksi kivi vain olla möllöttää paikallaan, olematta sen enempää totta kuin valhettakaan. 

Edellisen kaltaisista argumenteista Hullua Metafyysikkoa kiehtoo eniten sanoinkuvaamattomuuteen perustuva argumentti. Tietoisuuden tiloissani tuntuu olevan olennaisena ominaisuutena sanoinkuvaamattomuus; en voi mitenkään kuvailla esimerkiksi punaisuuden aistimusta värisokealle ihmiselle. Aineellisen maailman ilmiöt sen sijaan näyttävät olevan sanoin kuvailtavissa. Mikään ei periaatteessa estä kuvailemasta aivojeni rakennetta mielivaltaisen täsmällisesti.

Leibnizin lakiin perustuvissa argumenteissa voidaan nähdä yleisenä ongelmana selitysvoiman puute. Jos mielellä onkin ominaisuuksia, joita materialistinen maailmankuva ei voi selittää, ei ole lainkaan selvää, pystyykö dualismi selittämään niitä lainkaan paremmin. Kenelläkään ei ole tietoa millä tavalla sielu lopulta toimii ja kuinka se synnyttää esimerkiksi yksityisyyden, totuusarvon tai epäilemättömyyden.

Keskeinen vastaväite dualismille on interaktion (vuorovaikutuksen) ongelma: jos mieli ja ruumis ovat erillisiä substansseja, kuinka ne voivat vuorovaikuttaa keskenään? Tämä kysymys nähdään usein ensimmäisen erän tyrmäysiskuna dualismia vastaan. Hullu Metafyysikko ei näe asiaa näin suoraviivaisena. Siitä ettemme tiedä kuinka jokin asia olisi mahdollista ei voi suoraan päätellä sen olevan mahdotonta. Loppujen lopuksi fyysikot eivät täsmällisesti ymmärrä edes kahden aineellisenkaan kappaleen välistä vuorovaikutusta.

Toinen keskeinen argumentti dualismia vastaan perustuu energian säilymisen lakiin. Jos sielu vaikuttaa ruumiiseen, vaikutuksen täytyy tapahtua energiaa vapauttamalla. Mutta parhaiden fysiikan teorioidemme perusteella energiaa ei voi luoda eikä tuhota. Hullu Metafyysikko ei näe tätäkään argumenttia erityisen vakuuttavana. Ensinnäkin, kuinka voimme lopulta tietää energian säilymisen lain olevan yleispätevä? Ehkäpä parhaatkin fysiikan teoriamme ovat luotettavia vain jollain rajallisella pätevyysalueella, eikä sielun ja ruumiin vuorovaikutus satu sisältymään tähän pätevyysalueeseen. Toisekseen ei tunnu selvältä täytyykö sielun ja ruumiin vuorovaikutuksen välttämättä rikkoa energian säilymisen lakia. Voisiko sielu käyttää energianlähteenään esimerkiksi ihmisen ruumiinlämpöä tai ympäröivän ilman lämpötilaa? Hienostuneempi hypoteesi voisi perustua kvanttimekaniikkaan. Epätarkkuusperiaatteen mukaan energian säilymisen laki on voimassa ainoastaan tilastollisesti. Ehkäpä sielu vuorovaikuttaa ruumiin kanssa epätarkkuusperiaatteen sallimissa rajoissa.

Hullun Metafyysiko suosikkiargumentti dualismia vastaan perustuu äärettömään regressioon. Jos tietoisuuden tilat selitetään sielulla, voimme kysyä mikä sitten selittää sielun tietoisuuden. Tämä pakottaa olettamaan toisen sielun, ja edelleen äärettömän määrän sieluja.

Ajatuksen selventämiseksi voimme pohtia millaisia ominaisuuksia sielulla täytyisi olla. Jos sielu vuorovaikuttaa aineellisten aivojeni kanssa, vuorovaikutuksen ilmeisesti täytyy perustua aineellista maailmaa hallitseviin luonnon perusvoimiin – esimerkiksi sähkömagneettiseen voimaan. Toisekseen vuorovaikutuksen täytyy olla hyvin monimutkaista ja tarkasti säädeltyä. Jotta sielu voisi vaikuttaa käyttäytymiseeni mielekkäällä tavalla, vaikutuksen täytyy kohdistua täsmälleen oikeisiin aivosoluihin täsmälleen oikealla hetkellä. Tämä mutkikas valintatyö näyttää vaativan sielulta kykyä itsenäiseen, aivoista riippumattomaan tiedon käsittelyyn. Ja tämä taas näyttää vaativan sielulta monimutkaista sisäistä rakennetta, ”koneistoa” tiedon käsittelemiseen.

Nyt sielu alkaa epäilyttävästi muistuttaa aineellista oliota – se on jotain jolla on mutkikas sisäinen rakenne ja joka vuorovaikuttaa aineellista maailmaa hallitsevien voimien välityksellä. Millä tavalla sielu siis lopulta selittää tietoisuuden? Olen aiemmassa artikkelissa pohtinut zombeja, olentoja joilla on täsmälleen samanlainen ruumis kuin normaalilla ihmisellä, mutta joilla ei ole subjektiivisia tietoisuuden tiloja. Vastaavalla tavalla näyttää mahdolliselta kuvitella zombi-sielu, jolla on täsmälleen samanlainen rakenne kuin oikealla sielulla, mutta jolla ei ole tietoisuuden tiloja. Tällä perusteella joutuisimme selittämään sielun tietoisuuden toisella, korkeamman tason sielulla – jolloin lopulta päätyisimme äärettömään sielujen ketjuun.

Edellä kuvatusta argumentista voidaan epäilemättä löytää monenlaisia porsaanreikiä. Dualismin kannattajat eivät välttämättä allekirjoita ajatusta sielun monimutkaisesta sisäisestä rakenteesta – sielu voidaan nähdä yksinkertaisena oliona vailla osia tai rakennetta. Kuitenkin Hullu Metafyysikko näkee äärettömän regression ainakin tämänhetkisessä ymmärryksensä vaiheessa keskeisenä syynä dualismin ja sielu-oletuksen epäilemiseen.

Lisää lukemista täällä.

lauantai, 28. marraskuu 2015

Harha-ajatuksia lukujen nimeämisestä

Tällä viikolla työpaikan palaverissa Hullun Metafyysikon ajatukset harhautuivat palaverin varsinaista aihetta laajempiin sfääreihin. Palaverissa oli aiheena asiakastyytyväisyyttä mittaavan kaavakkeen suunnitteleminen. Kaavakkeessa asiakasta pyydettiin arvioimaan tyytyväisyyttään lukuarvolla. Tämä herätti keskustelua kuinka monta lukuarvoa asteikolla tulisi olla, ja onko jokainen lukuarvo tarpeen nimetä erikseen sanallisella kuvauksella. Keskustelun lopputuloksena muistaakseni oli, että asteikko muodostuu luvuista 0-5, ja ainoastaan asteikon ääripäät nimetään ”ei lainkaan tyytyväinen” ja ”erittäin tyytyväinen”.

 

Tämä herätti metafyysikon mielessä kysymyksen voisiko Jumala halutessaan antaa nimen jokaiselle lukusuoran pisteelle. Äkkiseltään ajatellen Hän varmaankin pystyisi tähän; vaikka lukusuoralla on ääretön määrä pisteitä, Jumala voisi keksiä loputtoman määrän toinen toistaan pidempiä nimiä. Mutta tarkemmin ajateltuna kysymys osoittautuu huomattavasti mutkikkaammaksi.

 

Kysymyksessä on olennaista se hämmentävä fakta, että matematiikka tuntee useita eri suuruisia äärettömyyksiä. Itse asiassa erilaiset äärettömyydet muodostavat äärettömiin jatkuvan hierarkian. Aihepiirin uranuurtajana toimi matemaatikko Georg Cantor vuosina 1845-1918. Hänen äärettömyyttä koskevat pohdintansa sekä niiden kohtaama voimakas kritiikki mahdollisesti edesauttoivat hänen sairastumistaan vaikeaan krooniseen depressioon. Jälkeenpäin on spekuloitu, onko äärettömyyden syvällinen pohtiminen vaaraksi ihmisen mielenterveydelle, vai tarvitaanko äärimmäisten ideoiden keksimiseen jo valmiiksi epävakaa mieli.

 

Äärettömyyksien perustavanlaatuisin jako vallitsee numeroituvan ja ylinumeroituvan äärettömän välillä. Numeroituvan äärettömän prototyyppi on luonnollisten lukujen (positiivisten kokonaislukujen) joukko; se ääretön, johon päädytään laskemalla 1, 2, 3, … Tätä suurempaa ylinumeroituvaa ääretöntä edustaa irrationaalilukujen joukko. Irrationaalilukuja ovat esimerkiksi piin tai kultaisen leikkauksen kaltaiset luvut, joita ei voi ilmaista murtolukuna tai äärellisenä desimaalikehitelmänä.

 

Eri suuruisten äärettömyyksien olemassaolo voidaan perustella Cantorin diagonaaliargumentilla. Argumentin perusidean ymmärtämiseksi voimme ensin pohtia, millä lailla kahden joukon kokoja voidaan ylipäänsä vertailla. Yksinkertaisin keino on laskea molempien joukkojen jäsenten lukumäärä. Jos esimerkiksi tanssisalissa on 50 naista ja 80 miestä, voimme sanoa miesten joukon olevan suurempi.

 

Mutta äärettömien joukkojen kohdalla laskeminen on ymmärrettävistä syistä vaikeampaa; äärettömässä tanssisalissa laskut menisivät väkisinkin sekaisin. Joudumme siis turvautumaan ovelampaan menetelmään. Jos komennamme miehet ja naiset muodostamaan pareja keskenään, näemme välittömästi kumpia on enemmän. Jos jäljelle jää yksikin mies, jolle ei löydy pariksi naista, miesten joukon täytyy olla suurempi. (Täsmälleen ottaen matemaatikot eivät puhu äärettömien joukkojen kohdalla suuruudesta, vaan kardinaliteetista, joka voidaan suomentaa ”mahtavuudeksi”.)

 

Cantorin diagonaaliargumentissa on ideana muodostaa pareja luonnollisista luvuista ja irrationaaliluvuista. Selkeyden vuoksi rajoitun tarkastelemaan irrationaalilukuja vain välillä 0-1. Parinmuodostus voisi tapahtua esimerkiksi seuraavasti:

 

1     0.65306...

2     0.18739...

3     0.62692...

4     0.21954...

5     0.12763...

.

.

.

 

Kolme pistettä listan oikeassa reunassa tarkoittavat, että irrationaalilukujen desimaalikehitelmät jatkuvat äärettömiin, ja kolme pistettä listan alalaidassa tarkoittavat listan jatkumista äärettömiin.

 

Äkkiseltään näyttää, että luonnollisia lukuja ja irrationaalilukuja on yhtä paljon; listassa jokaiselle luonnolliselle luvulle löytyy pariksi irrationaaliluku, ja päinvastoin. Mutta nyt sovellamme Cantorin nerokasta oivallusta. Muodostetaan uusi irrationaaliluku valitsemalla listan ensimmäisestä luvusta ensimmäinen desimaali, toisesta luvusta toinen desimaali, ja niin edelleen. (Merkitsen valitut desimaalit lihavoinnilla).

 

1     0.65306...

2     0.18739...

3     0.62692...

4     0.21954...

5     0.12763...

.

.

.

 

Tällä tavoin päädymme uuteen irrationaalilukuun 0.68653… Muokkamme tätä lukua muuttamalla sen jokaista desimaalia yhden pienemmäksi, jolloin päädymme lukuun 0.57542… Nimittäkäämme tätä lukua vaikkapa luvuksi L.

 

Nyt huomaamme kummallisen asian; lukua L ei voi löytyä yllä esitetystä irrationaalilukujen listasta. Se poikkeaa listan ensimmäisestä irrationaaliluvusta ainakin ensimmäisen desimaalin kohdalla, toisesta luvusta ainakin toisen desimaalin kohdalla, ja niin edelleen. Koska listassa jokaisella luonnollisella luvulla on jo parina jokin irrationaaliluku, luvulla L ei voi olla paria luonnollisten lukujen joukossa. Irrationaalilukujen määrän on siis oltava suurempi kuin luonnollisten lukujen määrä. Ja koska luonnollisia lukuja on äärettömän monta, irrationaalilukujen täytyy edustaa korkeamman asteista (ylinumeroituvaa) äärettömyyttä.

 

Numeroituvasti äärettömien joukkojen määrittelevä piirre on, että niiden jäsenet voidaan asettaa pareittain yksi-yhteen-vastaavuuteen luonnollisten lukujen kanssa. Irrationaalilukujen joukko on ylinumeroituva, koska niitä on enemmän kuin luonnollisia lukuja, eikä niille kaikille löydy paria luonnollisten lukujen joukosta.

 

Cantorin diagonaaliargumentti on matematiikkaa pinnallisesti tuntevan amatöörin näkökulmasta kerta kaikkiaan ihastuttava; äärimmäisen nerokas ja syvällinen idea on esitetty muodossa, jonka tajuamiseen riittää peruskoulun ala-asteen matematiikka. Kun Hullu Metafyysikko tutustui diagonaaliargumenttiin ensimmäistä kertaa, hän koki eri suuruisten äärettömyyksien näkemisen suorastaan uskonnollisena valaistumisena.

 

Entä kuinka tämä kaikki liittyy alussa pohtimaamme nimikysymykseen? Kaikkien mahdollisten nimien joukko ilmeisesti on numeroituvasti ääretön. Jos annamme jokaiselle aakkoselle lukuarvon, voimme muuntaa nimet luonnollisiksi luvuiksi, jotka muodostavat osajoukon kaikkien luonnollisten lukujen numeroituvassa joukossa. Koska lukusuoran pisteiden joukko (johon luetaan mukaan irrationaaliluvut) on ylinumeroituvasti ääretön, kaikille lukusuoran pisteille ei voi löytyä nimeä, vaikka itse Jumala olisi nimiä keksimässä.

 

Edellä kuvatussa päätelmässä on kuitenkin porsaanreikänä, että Jumala voisi käyttää äärettömän pitkiä ”irrationaalisia nimiä”. Hän voisi nimetä irrationaaliluvun esimerkiksi korvaamalla desimaalikehitelmässä numeron ”1” kirjaimella ”A”, numeron ”2” kirjaimella ”B”, ja niin edelleen. Mutta tuntuu varsin epäselvältä, olisivatko tällaiset äärettömät ja rakenteeltaan epäsäännölliset kirjainrimpsut varsinaisia nimiä sinä mielessä, mitä käsitteellä ”nimi” yleensä tarkoitetaan. Ainakaan niillä ei voisi olla missään kielessä minkäänlaista ymmärrettävää merkitystä.

lauantai, 10. lokakuu 2015

Ulottuvuuksien ihmemaassa

Kiehtovimpien matemaattisten ilmiöiden olympialaisissa mitalisuosikkeja voisivat olla korkeampiulotteiset avaruudet. Ulottuvuudet voidaan ymmärtää ”perussuuntina”, joita yhdistelemällä voidaan tuottaa mikä tahansa muu suunta. Tuntemassamme kolmiulotteisessa avaruudessa nämä perussuunnat voidaan nimetä ”oikealle/vasemmalle”, ”eteen/taakse” ja ”ylös/alas”. (Suhteellisuusteoriassa aika nähdään eräänlaisena neljäntenä ulottuvuutena, joka kuitenkin poikkeaa monin tavoin avaruuden ulottuvuuksista.)

 

Matemaatikko Edwin Abbott tarkasteli vuonna 1884 julkaistussa teoksessaan ”tasomaaksi” nimettyä kuvitteellista maailmaa, jossa on vain kaksi ulottuvuutta. Tämän litteän maailman elämä muodostui geometrisista monikulmioista. Teoksen vahvasti yhteiskuntaa parodioiva sanoma perustui taso-olioiden yhteiskuntahierarkiaan, joissa kulmien määrä määritti arvoaseman.

 

Kuvitellaan Tasomaan sijaitsevan Hullun Metafyysikon kirjoituspöydällä. Asemani suhteessa Tasomaan asukkaisiin tuntuu jumalankaltaiselta. Koska taso-olioiden aivot eivät kykene hahmottamaan ylös/alas -suuntaa, heidän on mahdotonta tajuta olemassaoloani. Minä taas pystyn tarkkailemaan heidän elämäänsä yläviistosta näkökulmastani. Jos tökkäisin sormeni heidän litteään maailmaansa, he hahmottaisivat sen tyhjästä ilmestyvänä lihamöhkäleenä.

 

Jos lukija sortuu ylimielisyyteen Tasomaan latteita asukkaita kohtaan, muistutan ylpeyden usein käyvän lankeamuksen edellä. Entä jos me itse olemme tasomaalaisia suhteessa joihinkin itseämme korkeampiin olentoihin? Kuvitellaan neljäs ulottuvuus, neljäs perussuunta, jonka olemassaoloa aivomme eivät pysty hahmottamaan. Neliulotteisilla olioilla olisi suhteessa meihin samoja taianomaisia kykyjä kuin meillä suhteessa Tasomaan asukkaisin. He voisivat tarkkailla meitä paljastamatta läsnäoloaan. He näkisivät maailmamme jopa tarkemmin kuin me itse – siinä missä me näemme aineellisten kappaleiden pinnan, neliulotteiset oliot näkisivät myös sisäosat. Heillä olisi myös kyky koskettaa kappaleiden sisäosia koskettamatta niiden pintaa. Tämä antaisi heille mahdollisuuden esimerkiksi toteuttaa kirurgisia operaatioita ihoa rikkomatta.

 

Neliulotteinen maailma on inspiroinut monien science fiction -kirjailijoiden mielikuvitusta. Eräässä novellissa (jonka kirjoittajaa tai nimeä Hullu Metafyysikko ei muista) tutkimusryhmä löysi neliulotteisen olennon syrjäisestä viidakosta. Olento ilmeni heidän silmissään tyhjästä ilmestyvinä lihamöhkäleinä. Tämä eriskummallinen ilmestys herätti retkeilijöiden bisnesvainun – olennon vangitseminen häkkiin ja esitteleminen sensaationälkäiselle yleisölle tuottaisi tähtitieteellisiä lipputuloja. Valitettavasti korkeamman olennon vangitseminen osoittautui haastavaksi – sen oli helppo paeta mistä tahansa kolmiulotteisesta häkistä liikkumalla neljännen ulottuvuuden suunnassa. (Vastaavalla tavalla Hullu Metafyysikko voisi helposti vetää sormensa pois tasomaasta, jos taso-oliot yrittäisivät vangita sen ympyrän muotoisen muurin sisään.)

 

Lopulta retkeläiset keksivät yksinkertaisuudessaan nerokkaan idean. Kuvitellaan, että Tasomaan asukkaat lävistäisivät Hullun Metafyysikon sormen neulalla. Nyt neula estäisi liikkeen kolmannen ulottuvuuden suunnassa, vangiten sormen kaksiulotteiseen maailmaan. Vastaavalla tavalla neliulotteinen olento voidaan vangita lävistämällä se seipäällä. Retkikunta toteutti tämän ja kierrätti seipäässään kiemurtelevaa oliota yleisönähtävyytenä, keräten roppakaupalla kultaa ja kunniaa.

 

Eräänä päivänä oliota oltiin esittelemässä poikkeuksellisen suurelle yleisölle. Kenties metelin ja ihmismassojen häiritsemänä olio intoutui teutaroimaan seipäässään erityisen raivokkaasti – onnistuen lopulta repimään itsensä vapaaksi. Juhlatilaisuus vaihtui surrealistiseksi painajaiseksi. Tyhjästä ilmestyvät lihamöykyt tuhosivat juhlasalin ja tappoivat lukemattomia ihmisiä. Olion vanginneet ihmiset katosivat kolmiulotteisesta maailmastamme – ilmeisesti kohdatakseen kostotoimenpiteitä, joiden kauheutta kolmiulotteiset aivomme eivät kykene kuvittelemaan.

 

Voisiko neliulotteinen maailma olla todellinen? Meidän ihmisten on mahdotonta visualisoida neljättä perussuuntaa, joka olisi kohtisuorassa kaikkia tuntemiamme suuntia vastaan. Kuitenkaan kolmiulotteisessa avaruudessa ei ole matemaattisesti mitään erityislaatuista - matemaatikot voivat yhtä helposti kuvailla mitä tahansa ulottuvuuksien määrää.

 

Neliulotteisten kappaleiden olemuksesta voi saada varjomaisen mielikuvan tarkastelemalla niiden projektioita kolmiulotteisessa avaruudessamme. Ihmisen näköaisti perustuu vastaavanlaiseen ulottuvuuksia vähentävään projektioon; silmän linssi muodostaa verkkokalvolle kaksiulotteisen kuvan, josta aivomme tulkitsevat kolmannen ulottuvuuden perspektiivivihjeiden avulla. Vastaavalla tavalla neliulotteisen olennon verkkokalvolle muodostuu kolmiulotteisia kuvia, joissa neljäs ulottuvuus ilmenee perspektiivin muodossa.

 

Ehkä yksinkertaisin neliulotteinen esine on tesseraktina tunnettu neliulotteinen kuutio. Hahmottamisen helpottamiseksi voimme tarkastella tesseraktin pelkistettyä versiota, jossa ainoastaan särmät ovat näkyvissä. Jos neliulotteinen olento katselisi tesseraktia suoraan sen päädyn takaa, se kokisi seuraavassa kuvassa esitetyn näköaistimuksen:

 

2%20wireframeHypercubeProjectedEdit.jpg

Kuva 1. Tesseraktin kolmiulotteinen projektio.

 

Kuva näyttää äkkiseltään kahdelta sisäkkäiseltä kuutiolta, joiden kulmat on yhdistetty viistoilla janoilla. Tosiasiassa pieni kuutio ei ole suuren kuution sisällä, eikä kuutioiden välillä myöskään ole kokoeroa – ”sisempi” kuutio on kauempana neljännen ulottuvuuden suunnassa, joten se näyttää perspektiivin vuoksi erehdyttävästi pienemmältä. Kuutioiden kulmia yhdistävät janat eivät ole tosiasiassa viistoja, vaan viistous on niinikään perspektiivin synnyttämä illuusio.

 

Tuntemallamme kolmiulotteisella kuutiolla on kahdeksan kärkipistettä, kaksitoista särmää ja kuusi neliön muotoista pintaa. Vastaavasti tesserakti koostuu kuudestatoista kärjestä, kolmestakymmenestä kahdesta särmästä ja kahdestakymmenestä neljästä neliöstä. Lisäksi tesseraktissa on kahdeksan hypertasoa, jotka voidaan ymmärtää ”kolmiulotteisina pintoina”. Kolmeen ulottuvuuteen projisoidussa kuvassa esimerkiksi ”sisempi” kuutio on tesseraktin ”takaseinä”, toisin sanottuna kaukaisin hypertaso neljännen ulottuvuuden suunnassa.

 

Hullun Metafyysikon on äärimmäisen vaikea hahmottaa kolmiulotteisten ”pintojen" olemusta. Esimerkiksi siivoojan työ neliulotteisessa maailmassa voisi olla vaivalloista; lattian peseminen vaatisi kolmiulotteisen tilavuuden luuttuamista, ja pölyt pitäisi pyyhkiä paitsi tavaroiden pinnalta, myös niiden sisältä.

 

John McIntosh on luonut äärimmäisen innovatiivisen tietokonepelin, jossa on ideana neliulotteisessa sokkelossa suunnistaminen. Sokkelo muodostuu tesserakteja yhdistelemällä luoduista käytävistä. Pelaaja voi hahmottaa sokkelossa liikkuvan neliulotteisen olennon aistimukset kolmiulotteisten stereokuvien avulla. McIntosh kertoo peliä kehittäessään haaveilleensa, että harjoittelemalla sokkelossa suunnistamista riittävän kauan hän oppisi hahmottamaan neliulotteisen todellisuuden. Tähän hän ei ole kyennyt; hän osaa suunnistaa neliulotteisessa maailmassa erilaisten monimutkaisten ”nyrkkisääntöjen” avulla, muttei kykene vuosien harjoittelunkaan jälkeen hahmottamaan sokkeloa elämyksellisellä tavalla.

 

front%20%282%29.jpg

Kuva 2. Näköaistimus neliulotteisesta sokkelosta. (Lähde: http://www.urticator.net/maze/)

 

Matemaatikot ovat tutkineet tesseraktin lisäksi lukuisia muitakin korkeampiulotteisia esineitä. Kolmiulotteinen kuutio kuuluu Platonin kappaleina tunnettuihin säännöllisiin monitahokkaisiin. Platonin kappaleita on olemassa kaikkiaan viisi; kuution lisäksi tetraedri, oktaedri, dodekaedri ja ikosaedri. Kaikille näille on olemassa korkeampi vastine neliulotteisessa avaruudessa. Lisäksi neliulotteinen avaruus sisältää yhden säännöllisen monitahokkaan (polyoctahedron), jolle ei ole olemassa kolmiulotteista vertauskohtaa. Viisiulotteinen avaruus sisältää kolme erilaista säännöllistä monitahokasta, samoin jokainen avaruus, jonka ulottuvuuksien määrä on suurempi kuin viisi. Nämä monitahokkaat vastaavat tuntemiamme tetraedria, kuutiota ja oktaedria.

 

Vaikka osa neliulotteisista kappaleista voidaan karkeasti hahmottaa alempiulotteisten vertauskohtien avulla, suurinta osaa neliulotteisen maailman esineistä ei voi verrata mihinkään tuntemaamme. Jos on olemassa neliulotteisia eliöitä, heidän ruumiinrakenteensa lienee mitä todennäköisimmin ihmiselle täydellisen käsittämätön.

 

Artikkelin lopuksi Hullu Metafyysikko kertoo unestaan, jonka näki luultavasti aiemmin mainitun tietokonepelin inspiroimana. Unessa laskeuduin portaikkoa pitkin neliulotteiseen maailmaan, päätyen pian toivottomasti eksyksiin. Näin lähelläni tiikeriä muistuttavan valkohehkuisen hahmon, jonka tajusin olevan kolmiulotteinen projektio jostain käsittämättömästä ja uhkaavasta neliulotteisesta eliömuodosta. Unessa en hahmottanut neljättä ulottuvuutta konkreettisesti, mutta koin kammottavaa disorientaation ja avuttomuuden tunnetta. Onneksi kohtasin ihmisen kaltaisen olennon, joka jostain syystä oli kotonaan neliulotteisessa maailmassa, ja ystävällisesti opasti metafyysikon takaisin turvalliseen kolmiulotteiseen todellisuuteen. 

 

Pari mielenkiintoista linkkiä:

Animaatio polyoctahedronin kolmiulotteisesta projektiosta

Youtube -pätkä tesseraktin pyörittämisestä ja purkamisesta

 

 

sunnuntai, 20. syyskuu 2015

Substanssia etsimässä

Muutamassa aiemmassa artikkelissa Hullu Metafyysikko on pohdiskellut tietoisuuden mysteerejä. Nyt hän hakee vauhtia toisesta äärilaidasta, aineellisen substanssin arvoituksista.

 

Metafyysikoilla on tapana jakaa olioiden ominaisuudet suhteellisiin ja sisäisiin. Esimerkiksi shakkinappuloiden rooli pelissä määritellään kuvailemalla niiden liikettä pelilaudalla. Torni liikkuu ruudusta toiseen suoria linjoja pitkin, lähetti viistoja, ja niin edelleen. Tällaiset ominaisuudet ovat suhteellisia; ne kuvaavat nappuloiden käyttäytymistä suhteessa toisiin nappuloihin. Nappuloiden sisäiset ominaisuudet riippuvat siitä aineesta tai substanssista, josta ne on rakennettu. Shakin pelaamisen kannalta sisäisillä ominaisuuksilla ei ole merkitystä; nappulat voivat yhtä hyvin koostua vaikkapa puusta, kullasta tai suklaasta, kunhan vain niiden suhteelliset ominaisuudet on määritelty pelin vaatimalla tavalla.

 

Esimerkiksi kultaisen shakkinappulan sisäiset ominaisuudet voidaan hahmottaa aistien avulla: kulta on väriltään keltaista, tuntuu sormin sivellessä kovalta ja nostettaessa painavalta. Mutta entäpä jos tutkimme kultaa voimakkaalla mikroskoopilla? Havaitsemme sen rakentuvan atomeista, jotka edelleen rakentuvat atomiytimestä ja sitä kiertävistä elektroneista. Vielä tarkemmin katsottuna atomiydin jakautuu protoneihin ja neutroneihin, jotka puolestaan rakentuvat kvarkeista. 

 

Tarkastelkaamme lähemmin vaikkapa elektronin ominaisuuksia. Elektronin sähkövaraus tarkoittaa, että elektroni hylkii muita eletroneja tietyllä voimalla ja vetää puoleensa protoneja tietyllä voimalla. Sen massa tarkoittaa, että se vetää puoleensa muita massallisia kappaleita tietyllä voimalla ja reagoi liiketilaansa muuttaviin voimiin tietyllä kiihtyvyydellä. Nyt huomaamme jotain kummallista. Kaikki fysiikan tuntemat elektronin ominaisuudet ovat suhteellisia, eivät sisäisiä. Elektronin ominaisuuksia voidaan verrata pelin sääntöihin, jotka kuvaavat sen käyttäytymistä suhteessa muihin fysiikan tuntemiin pelinappuloihin.

 

Millaisia elektronin sisäiset ominaisuudet mahtavat olla? Jos Hullu Metafyysikko kuvittelee kutistuvansa mikroskooppisen pieneksi ja seisovansa elektronin vieressä, hänen on helppo kuvitella se pikkuriikkiseksi sähkönsinistä valoa hehkuvaksi palloksi. Jos hän kuvittelee koskettavansa elektronia, se voisi tuntua liukkaalta ja kihelmöivältä. Mutta tällainen ajatusleikki on tietenkin epärealistinen. Elektroni ei ole minkään värinen, koska se on kooltaan valon aallonpituutta pienempi, eikä sitä siis ole mahdollista koskaan nähdä. (Elektroni ei ole edes väritön tai näkymätön - pikemminkin koko näkemisen käsite menettää sen kohdalla merkityksensä.) Elektroni ei myöskään tunnu miltään, koska se on pienempi kuin sormenpääni atomit, eikä sitä siis voi koskettaa. Elektronin sisäisiä ominaisuuksia näyttää mahdottomalta hahmottaa tuntemiemme aistikokemusten avulla.

 

Aistiemme puutteellisuus mikromaailman ilmiöitä hahmotettaessa ei tietenkään tule yllätyksenä kenellekään moderniin fysiikkaan perehtyneelle. Mutta yllättävää on se, että alkeishiukkasten sisäisiä ominaisuuksia ei näytä mahdolliselta tutkia millään muullakaan tavalla. Fyysikot tutkivat alkeishiukkasia törmäyttämällä niitä toisiinsa hiukkaskiihdyttimissä ja havainnoimalla niiden keskinäisiä vuorovaikutuksia. Tällainen lähestymistapa paljastaa ainoastaan suhteellisia ominaisuuksia - tietoa siitä, kuinka hiukkaset käyttäytyvät suhteessa toisiin hiukkasiin. 

 

Edellä mainittu ei ole ongelmallista fysiikan näkökulmasta. Niin kauan kuin alkeishiukkaset pelaavat pelejään fysiikan lakien mukaisesti, niiden sisäisillä ominaisuuksilla ei ole merkitystä. Mutta intuitiivisesti tuntuu itsestään selvältä, että alkeishiukkasten täytyy muodostua jostain substanssista, jolla on jotain sisäisiä ominaisuuksia. Jos on olemassa suhteellisia ominaisuuksia, täytyy olla olemassa jokin, joka nämä ominaisuudet toteuttaa. Vastaavalla tavalla shakkinappulan täytyy koostua jostain, vaikka pelin kannalta sen täsmällisellä rakennusaineella ei olekaan merkitystä.

 

Arvoitukseen näyttää olevan kaksi mahdollista ratkaisua: alkeishiukkasilla joko on sisäisiä ominaisuuksia, tai ei ole. Ensin mainitussa vaihtoehdossa aineen perimmäisen olemuksen täytyy olla jotain, jota ei voi koskaan havaita tai kuvailla eikä edes kuvitella. Tällaiseen salaperäiseen johonkin uskomista on vaikea olla näkemättä pahimman laatuisena taikauskona.

 

Jos taas alkeishiukkasilla ei ole sisäisiä ominaisuuksia, mitä tuntemamme aine sitten pohjimmiltaan on? Tässä tapauksessa alkeishiukkaset alkavat epäilyttävästi muistuttaa matemaattisia olioita. Matematiikalle on ominaista suhteiden kuvaileminen vailla konkreettista sisältöä. Matematiikka sai alkunsa konkreettisten olioiden laskemisesta; esimerkiksi luvulla ”3” voitiin tarkoittaa kolmea omenaa tai kolmea kultarahaa. Ratkaiseva askel matematiikan kehityksessä oli lukujen puhdistaminen kaikesta konkreettisesta sisällöstä; matemaatikot pohdiskelevat lukuja puhtaina abstraktioina, jotka on määritelty ainoastaan suhteessa muihin lukuihin. Jos alkeishiukkasilta samaan tapaan puuttuvat sisäiset ominaisuudet, onko tuntemamme aine lopulta vain sisällyksetön abstraktio, matemaattinen entiteetti?

 

Kosmologi Max Tegmark teoksessaan Our Mathematical Universe vie tämän ajatuksen äärimmilleen. Hänen mukaansa koko maailmankaikkeus on jättimäinen matemaattinen rakenne, joka tiedostaa itse oman olemassaolonsa. Ne matemaattiset oliot, jotka näemme tietoisuudessamme, ja ulkoinen maailma, jonka aisteillamme havaitsemme, ovat lopulta vain kaksi näkökulmaa pohjimmiltaan samaan todellisuuteen.

 

Hullu Metafyysikko näkee aineellisen substanssin arvoitukset kiehtovina viitteinä panpsykismin tai metafyysisen idealismin suuntaan. Jos aineellinen substanssi on olemassa, sen täytyy olla jotain, jota ei voi kuvailla tai havaita. Nämä ominaisuudet muistuttavat epäilyttävästi tietoisuuden ominaisuuksia – myöskään tietoisuuden tilat eivät ole havaittavissa tai käsitteellisesti kuvailtavissa. Tämä herättää kysymyksen, voisiko henkinen substanssi olla aineellisen maailman perimmäinen rakennusaine. Tällainen päätelmä ei liene loogisesti sitova – samankaltaisuudesta ei voi suoraan päätellä identtisyyttä. Kuitenkin aineellisen substanssin ja tietoisuuden identtisyys voitaisiin nähdä ontologisesti säästeliäänä ja siten Occamin partaveitsen suosimana ratkaisuna. Miksi meidän pitäisi sisällyttää todellisuuskäsitykseemme kaksi erillistä, toisiaan muistuttavaa ilmiötä, jos voimme yksinkertaisemmin olettaa niiden olevan kaksi näkökulmaa pohjimmiltaan samaan ilmiöön?

 

Jos taas aineellinen substanssi ei ole olemassa – jos aine on pelkkä matemaattinen abstraktio – herää kysymys tietoisuuden roolista todellisuudessamme. Koska havaitsemme matemaattiset oliot tietoisuudessamme, tietoisuus ei itsessään voi olla matemaattinen olio. Tämä päätelmä näyttää johtavan idealistiseen käsitykseen tietoisuudesta todellisuuden perustavanlaatuisena osana. Hullun Metafyysikon silmien eteen avautuu visio maailmansielusta, ”kosmisesta mielestä”, jonka ajatukset muodostuvat matematiikasta, ja jonka tietoisuudessa maailmankaikkeus sijaitsee.