Kiehtovimpien matemaattisten ilmiöiden olympialaisissa mitalisuosikkeja voisivat olla korkeampiulotteiset avaruudet. Ulottuvuudet voidaan ymmärtää ”perussuuntina”, joita yhdistelemällä voidaan tuottaa mikä tahansa muu suunta. Tuntemassamme kolmiulotteisessa avaruudessa nämä perussuunnat voidaan nimetä ”oikealle/vasemmalle”, ”eteen/taakse” ja ”ylös/alas”. (Suhteellisuusteoriassa aika nähdään eräänlaisena neljäntenä ulottuvuutena, joka kuitenkin poikkeaa monin tavoin avaruuden ulottuvuuksista.)

 

Matemaatikko Edwin Abbott tarkasteli vuonna 1884 julkaistussa teoksessaan ”tasomaaksi” nimettyä kuvitteellista maailmaa, jossa on vain kaksi ulottuvuutta. Tämän litteän maailman elämä muodostui geometrisista monikulmioista. Teoksen vahvasti yhteiskuntaa parodioiva sanoma perustui taso-olioiden yhteiskuntahierarkiaan, joissa kulmien määrä määritti arvoaseman.

 

Kuvitellaan Tasomaan sijaitsevan Hullun Metafyysikon kirjoituspöydällä. Asemani suhteessa Tasomaan asukkaisiin tuntuu jumalankaltaiselta. Koska taso-olioiden aivot eivät kykene hahmottamaan ylös/alas -suuntaa, heidän on mahdotonta tajuta olemassaoloani. Minä taas pystyn tarkkailemaan heidän elämäänsä yläviistosta näkökulmastani. Jos tökkäisin sormeni heidän litteään maailmaansa, he hahmottaisivat sen tyhjästä ilmestyvänä lihamöhkäleenä.

 

Jos lukija sortuu ylimielisyyteen Tasomaan latteita asukkaita kohtaan, muistutan ylpeyden usein käyvän lankeamuksen edellä. Entä jos me itse olemme tasomaalaisia suhteessa joihinkin itseämme korkeampiin olentoihin? Kuvitellaan neljäs ulottuvuus, neljäs perussuunta, jonka olemassaoloa aivomme eivät pysty hahmottamaan. Neliulotteisilla olioilla olisi suhteessa meihin samoja taianomaisia kykyjä kuin meillä suhteessa Tasomaan asukkaisin. He voisivat tarkkailla meitä paljastamatta läsnäoloaan. He näkisivät maailmamme jopa tarkemmin kuin me itse – siinä missä me näemme aineellisten kappaleiden pinnan, neliulotteiset oliot näkisivät myös sisäosat. Heillä olisi myös kyky koskettaa kappaleiden sisäosia koskettamatta niiden pintaa. Tämä antaisi heille mahdollisuuden esimerkiksi toteuttaa kirurgisia operaatioita ihoa rikkomatta.

 

Neliulotteinen maailma on inspiroinut monien science fiction -kirjailijoiden mielikuvitusta. Eräässä novellissa (jonka kirjoittajaa tai nimeä Hullu Metafyysikko ei muista) tutkimusryhmä löysi neliulotteisen olennon syrjäisestä viidakosta. Olento ilmeni heidän silmissään tyhjästä ilmestyvinä lihamöhkäleinä. Tämä eriskummallinen ilmestys herätti retkeilijöiden bisnesvainun – olennon vangitseminen häkkiin ja esitteleminen sensaationälkäiselle yleisölle tuottaisi tähtitieteellisiä lipputuloja. Valitettavasti korkeamman olennon vangitseminen osoittautui haastavaksi – sen oli helppo paeta mistä tahansa kolmiulotteisesta häkistä liikkumalla neljännen ulottuvuuden suunnassa. (Vastaavalla tavalla Hullu Metafyysikko voisi helposti vetää sormensa pois tasomaasta, jos taso-oliot yrittäisivät vangita sen ympyrän muotoisen muurin sisään.)

 

Lopulta retkeläiset keksivät yksinkertaisuudessaan nerokkaan idean. Kuvitellaan, että Tasomaan asukkaat lävistäisivät Hullun Metafyysikon sormen neulalla. Nyt neula estäisi liikkeen kolmannen ulottuvuuden suunnassa, vangiten sormen kaksiulotteiseen maailmaan. Vastaavalla tavalla neliulotteinen olento voidaan vangita lävistämällä se seipäällä. Retkikunta toteutti tämän ja kierrätti seipäässään kiemurtelevaa oliota yleisönähtävyytenä, keräten roppakaupalla kultaa ja kunniaa.

 

Eräänä päivänä oliota oltiin esittelemässä poikkeuksellisen suurelle yleisölle. Kenties metelin ja ihmismassojen häiritsemänä olio intoutui teutaroimaan seipäässään erityisen raivokkaasti – onnistuen lopulta repimään itsensä vapaaksi. Juhlatilaisuus vaihtui surrealistiseksi painajaiseksi. Tyhjästä ilmestyvät lihamöykyt tuhosivat juhlasalin ja tappoivat lukemattomia ihmisiä. Olion vanginneet ihmiset katosivat kolmiulotteisesta maailmastamme – ilmeisesti kohdatakseen kostotoimenpiteitä, joiden kauheutta kolmiulotteiset aivomme eivät kykene kuvittelemaan.

 

Voisiko neliulotteinen maailma olla todellinen? Meidän ihmisten on mahdotonta visualisoida neljättä perussuuntaa, joka olisi kohtisuorassa kaikkia tuntemiamme suuntia vastaan. Kuitenkaan kolmiulotteisessa avaruudessa ei ole matemaattisesti mitään erityislaatuista - matemaatikot voivat yhtä helposti kuvailla mitä tahansa ulottuvuuksien määrää.

 

Neliulotteisten kappaleiden olemuksesta voi saada varjomaisen mielikuvan tarkastelemalla niiden projektioita kolmiulotteisessa avaruudessamme. Ihmisen näköaisti perustuu vastaavanlaiseen ulottuvuuksia vähentävään projektioon; silmän linssi muodostaa verkkokalvolle kaksiulotteisen kuvan, josta aivomme tulkitsevat kolmannen ulottuvuuden perspektiivivihjeiden avulla. Vastaavalla tavalla neliulotteisen olennon verkkokalvolle muodostuu kolmiulotteisia kuvia, joissa neljäs ulottuvuus ilmenee perspektiivin muodossa.

 

Ehkä yksinkertaisin neliulotteinen esine on tesseraktina tunnettu neliulotteinen kuutio. Hahmottamisen helpottamiseksi voimme tarkastella tesseraktin pelkistettyä versiota, jossa ainoastaan särmät ovat näkyvissä. Jos neliulotteinen olento katselisi tesseraktia suoraan sen päädyn takaa, se kokisi seuraavassa kuvassa esitetyn näköaistimuksen:

 

Kuva 1. Tesseraktin kolmiulotteinen projektio.

 

Kuva näyttää äkkiseltään kahdelta sisäkkäiseltä kuutiolta, joiden kulmat on yhdistetty viistoilla janoilla. Tosiasiassa pieni kuutio ei ole suuren kuution sisällä, eikä kuutioiden välillä myöskään ole kokoeroa – ”sisempi” kuutio on kauempana neljännen ulottuvuuden suunnassa, joten se näyttää perspektiivin vuoksi erehdyttävästi pienemmältä. Kuutioiden kulmia yhdistävät janat eivät ole tosiasiassa viistoja, vaan viistous on niinikään perspektiivin synnyttämä illuusio.

 

Tuntemallamme kolmiulotteisella kuutiolla on kahdeksan kärkipistettä, kaksitoista särmää ja kuusi neliön muotoista pintaa. Vastaavasti tesserakti koostuu kuudestatoista kärjestä, kolmestakymmenestä kahdesta särmästä ja kahdestakymmenestä neljästä neliöstä. Lisäksi tesseraktissa on kahdeksan hypertasoa, jotka voidaan ymmärtää ”kolmiulotteisina pintoina”. Kolmeen ulottuvuuteen projisoidussa kuvassa esimerkiksi ”sisempi” kuutio on tesseraktin ”takaseinä”, toisin sanottuna kaukaisin hypertaso neljännen ulottuvuuden suunnassa.

 

Hullun Metafyysikon on äärimmäisen vaikea hahmottaa kolmiulotteisten ”pintojen" olemusta. Esimerkiksi siivoojan työ neliulotteisessa maailmassa voisi olla vaivalloista; lattian peseminen vaatisi kolmiulotteisen tilavuuden luuttuamista, ja pölyt pitäisi pyyhkiä paitsi tavaroiden pinnalta, myös niiden sisältä.

 

John McIntosh on luonut äärimmäisen innovatiivisen tietokonepelin, jossa on ideana neliulotteisessa sokkelossa suunnistaminen. Sokkelo muodostuu tesserakteja yhdistelemällä luoduista käytävistä. Pelaaja voi hahmottaa sokkelossa liikkuvan neliulotteisen olennon aistimukset kolmiulotteisten stereokuvien avulla. McIntosh kertoo peliä kehittäessään haaveilleensa, että harjoittelemalla sokkelossa suunnistamista riittävän kauan hän oppisi hahmottamaan neliulotteisen todellisuuden. Tähän hän ei ole kyennyt; hän osaa suunnistaa neliulotteisessa maailmassa erilaisten monimutkaisten ”nyrkkisääntöjen” avulla, muttei kykene vuosien harjoittelunkaan jälkeen hahmottamaan sokkeloa elämyksellisellä tavalla.

 

Kuva 2. Näköaistimus neliulotteisesta sokkelosta. (Lähde: http://www.urticator.net/maze/)

 

Matemaatikot ovat tutkineet tesseraktin lisäksi lukuisia muitakin korkeampiulotteisia esineitä. Kolmiulotteinen kuutio kuuluu Platonin kappaleina tunnettuihin säännöllisiin monitahokkaisiin. Platonin kappaleita on olemassa kaikkiaan viisi; kuution lisäksi tetraedri, oktaedri, dodekaedri ja ikosaedri. Kaikille näille on olemassa korkeampi vastine neliulotteisessa avaruudessa. Lisäksi neliulotteinen avaruus sisältää yhden säännöllisen monitahokkaan (polyoctahedron), jolle ei ole olemassa kolmiulotteista vertauskohtaa. Viisiulotteinen avaruus sisältää kolme erilaista säännöllistä monitahokasta, samoin jokainen avaruus, jonka ulottuvuuksien määrä on suurempi kuin viisi. Nämä monitahokkaat vastaavat tuntemiamme tetraedria, kuutiota ja oktaedria.

 

Vaikka osa neliulotteisista kappaleista voidaan karkeasti hahmottaa alempiulotteisten vertauskohtien avulla, suurinta osaa neliulotteisen maailman esineistä ei voi verrata mihinkään tuntemaamme. Jos on olemassa neliulotteisia eliöitä, heidän ruumiinrakenteensa lienee mitä todennäköisimmin ihmiselle täydellisen käsittämätön.

 

Artikkelin lopuksi Hullu Metafyysikko kertoo unestaan, jonka näki luultavasti aiemmin mainitun tietokonepelin inspiroimana. Unessa laskeuduin portaikkoa pitkin neliulotteiseen maailmaan, päätyen pian toivottomasti eksyksiin. Näin lähelläni tiikeriä muistuttavan valkohehkuisen hahmon, jonka tajusin olevan kolmiulotteinen projektio jostain käsittämättömästä ja uhkaavasta neliulotteisesta eliömuodosta. Unessa en hahmottanut neljättä ulottuvuutta konkreettisesti, mutta koin kammottavaa disorientaation ja avuttomuuden tunnetta. Onneksi kohtasin ihmisen kaltaisen olennon, joka jostain syystä oli kotonaan neliulotteisessa maailmassa, ja ystävällisesti opasti metafyysikon takaisin turvalliseen kolmiulotteiseen todellisuuteen. 

 

Pari mielenkiintoista linkkiä:

Animaatio polyoctahedronin kolmiulotteisesta projektiosta

Youtube -pätkä tesseraktin pyörittämisestä ja purkamisesta