Koska ajan nuolta käsittelevä artikkelisarja aiheutti Hullulle Metafyysikolle vaikea-asteisen kosmologia-ähkyn, hän aikoo kirjoittaa seuraavan artikkelin jostain kevyestä ja maanläheisestä aiheesta. Satunnaisen nettisurffailun tuloksena aiheeksi valikoitui Fibonaccin lukujono.

 

Tämä erikoislaatuinen matemaattinen ilmiö tunnettiin jo muinaisessa Kiinassa vuonna 200 eKr. Ensimmäisenä eurooppalaisena aihetta pohdiskeli 1200-luvulla Leonardo Pisalainen, joka tunnetaan paremmin nimimerkistään Fibonacci. Hänen nimeään kantavassa lukujonossa on ideana seuraavan jäsenen muodostaminen kahden edellisen jäsenen summana. Jos prosessi aloitetaan luvuista 0 ja 1, jono saa muodon

 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

 

Fibonaccin luvut nimetään alaindeksien avulla muodossa F_k, missä k tarkoittaa kunkin luvun järjestysnumeroa. Luvun ”0” katsotaan olevan jonon nollas jäsen, joten se on nimeltään F₀. 

 

Kiinalaiset matemaatikot keksivät Fibonaccin lukujonon tarkastellessaan eri pituisten tavujen jakautumista sanskriitinkielisessä runomitassa. Fibonacci löysi saman ilmiön tarkastellessaan kuvitteellisen kanipopulaation lisääntymistä.

 

Fibonaccin lukujonoon kätkeytyy syvällisiä lainalaisuuksia, joita matemaatikot eivät tänä päivänäkään täydellisesti ymmärrä. Ehkä yksinkertaisin lainalaisuus löydetään tarkastelemalla lukujen parillisuutta. Ensimmäinen parillinen Fibonaccin luku on F₃ = 2. Seuraavia parillisia lukuja ovat F₆, F₉ ja F₁₂, toisin sanoen joka kolmas Fibonaccin luku. Vastaava lainalaisuus pätee yleisemmälläkin tasolla. F₄ = 3, ja katso, joka neljäs Fibonaccin luku on kolmella jaollinen. Yleisesti ilmaistuna joka k:s Fibonaccin luku on jaollinen luvulla F_k.

 

Toinen lainalaisuus löydetään tarkastelemalla kunkin Fibonaccin luvun viimeistä numeroa (lihavoidut numerot)

 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

 

jolloin päädytään lukujonoon

 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, ...

 

Kun tätä jonoa tutkitaan riittävän pitkälle, havaitaan sen toistuvan samanlaisena 60 luvun mittaisessa syklissä. Vastaavasti kahta viimeistä numeroa tarkastelemalla päädytään 300 luvun mittaiseen sykliin, kolmea viimeistä numeroa tarkastelemalla 1500 luvun sykliin, neljää viimeistä numeroa tarkastelemalla 15 000 luvun sykliin, ja niin edelleen.

 

Eräs ratkaisematon ongelma liittyy käsitteeseen ”digit sum” (jolle Hullu Metafyysikko ei tunne sujuvalta kuulostavaa suomenkielistä vastinetta). Kyseessä on tietyn luvun yksittäisten numeroiden yhteenlaskeminen. Esimerkiksi luvulla F₁₀ = 55 on hassu ominaisuus, että sen digit sum on sama kuin luvun järjestysindeksi (5 + 5 = 10).

 

Toistaiseksi on avoin kysymys, onko tällä ominaisuudella (digit sum F_k = k) varustettujen Fibonaccin lukujen määrä äärellinen vai ääretön. Suurin tunnettu esimerkki on F₂₂₂₂, jonka digit sum on 2222. (Kyseinen luku on 465 numeron mittainen, joten Hullu Metafyysikko armahtaa lukijaa ja itseään jättämällä sen kirjoittamatta.) Kysymystä on yritetty ratkaista eräänlaisella tilastollisella argumentilla. On todistettu, että luvun F_k numeroiden (digits) määrä on noin 0.2k (esimerkiksi luvun F₂₂₂₂ tapauksessa 465/2222 = 0.20927…). Jos numerot 0-9 esiintyvät Fibonaccin luvuissa sattumanvaraisesti, ”keskimääräinen numero” on suuruudeltaan noin (0+1+...+8+9)/10 = 4.5. Tällä perusteella voitaisiin olettaa tyypillisen digit sum -arvon olevan noin 0.2k*4.5 = 0.9k. Digit sum siis jää sitä kauemmas jälkeen luvusta k, mitä suurempia k:n arvoja tarkastelemme. Lopulta kenties päädytään lukualueelle, jossa nämä kaksi arvoa eivät enää koskaan kohtaa.

 

Ominaisuuden ”digit sum F_k = k” täyttäviä lukuja on toistaiseksi etsitty alueelta k<5000. Koska yhtään esimerkkiä luvun F₂₂₂₂ jälkeen ei olla löydetty, vaikuttaa todennäköiseltä, että olemme saavuttaneet alueen, jolla mainitunlaiset luvut ovat kokonaan loppuneet. Edellä kuvattu tilastollinen argumentti kuitenkin perustuu oletukseen, että numerot 0-9 jakautuvat Fibonaccin luvuissa satunnaisesti. Tämä oletus saattaa mennä pieleen, jos numeroiden jakautumiseen liittyy jokin toistaiseksi tuntematon lainalaisuus.

 

Toinen ratkaisematon ongelma liittyy Fibonaccin alkulukuihin. Pikaisella silmäyksellä on helppo havaita Fibonaccin jonon sisältävän alkulukuja; esimerkiksi F₇ = 13 ja F₁₁ = 89. Kuitenkaan kukaan ei ole onnistunut ratkaisemaan, onko tällaisten lukujen määrä äärellinen vai ääretön. Suurin tunnettu esimerkki on F₈₁₈₃₉, joka on pituudeltaan 17103 numeroa. Alkulukuparien määrä Fibonaccin jonossa on sitä vastoin hyvinkin äärellinen; ainoat Fibonaccin alkuluvut, jotka kuuluvat alkulukupariin, ovat 3, 5 ja 13.

 

Fibonaccin luvuilla näyttää olevan ”naapurustossaan” kummallinen alkulukuja hylkivä vaikutus. Muutamia poikkeuksia lukuunottamatta yksikään alkuluku ei sijaitse lukusuoralla seuraavana Fibonaccin luvun jälkeen tai sitä ennen. (Poikkeukset ovat 2, 3 ja 7.) Samankaltainen sääntö pätee Fibonaccin lukujen potensseihin. Yhdenkään Fibonaccin luvun neliön naapurissa ei sijaitse yhtäkään alkulukua. Yhdenkään Fibonaccin luvun minkään potenssin pienempi naapuri (F_kⁿ-1) ei ole alkuluku. Fibonaccin potenssien suuremmat naapurit (F_kⁿ+1) saattavat olla alkulukuja, mutta vain mikäli potenssi (n) on itsessään jokin luvun 2 potenssi. Esimerkki tällaisesta luvusta on F₉⁴+1 = 34⁴ + 1 = 1336337.

 

Ehkä tunnetuin Fibonaccin lukujonon kummallisuus on kultaiseksi leikkaukseksi nimetty suhdeluku. Kahden peräkkäisen Fibonaccin luvun suhde muistuttaa kultaista leikkausta sitä tarkemmin, mitä pidemmälle lukujonossa edetään. Kultainen leikkaus kuuluu irrationaalilukuihin, toisin sanoen lukuihin, joita ei voida täsmällisesti ilmaista murtolukuna tai äärellisenä desimaalikehitelmänä. Näiden lukujen joukossa kultainen leikkaus sijaitsee kunniapaikalla; se on "kaikkein irrationaalisin" luku, toisin sanoen mahdollisimman vaikeasti approksimoitavissa millään yksinkertaisilla murtoluvuilla.

 

Luultavasti edellä mainitun matemaattisen ominaisuuden vuoksi kultainen leikkaus esiintyy luonnossa lukemattomissa asiayhteyksissä. Esimerkiksi kasvit hyödyntävät lehtiensä sijoittelussa "kultaista kulmaa", joka saadaan jakamalla ympyrä kultaisen leikkauksen suhteessa. Tällä tavoin kasvit pystyvät minimoimaan lehtien toisiaan varjostavan vaikutuksen. Monet kukat hyödyntävät siementensä pakkaamisessa kultaista spiraalia, joka mahdollistaa maksimaalisen siemenmäärän mahduttamisen mahdollisimman pieneen tilaan.

 

Kenties juuri kasvien geometrian kautta kultainen leikkaus on löytänyt tiensä inhimilliseen estetiikkaan. Monet taiteilijat, joko tiedostamattaan tai harkitusti, soveltavat kultaista leikkausta sommittelun apuvälineenä. Kultainen leikkaus voidaan silmämääräisesti löytää jakamalla jana kahteen osaan a ja b, siten että a/b = b/(a+b). Toisin sanoen janan lyhyemmän osan suhde pidempään osaan on sama kuin pidemmän osan suhde koko janaan. 

 

Kultaisen leikkauksen saavuttaman maagisen maineen vuoksi siihen liittyy monenlaisia paikkansapitämättömiäkin väitteitä. Esimerkiksi galaksien kierteishaarojen on väitetty olevan kultaisia spiraaleja. Tosiasiassa galaksien haarat ovat logaritmisia spiraaleja; kultainen spiraali on eräs logaritminen spiraali, mutta kaikki logaritmiset spiraalit eivät ole kultaisia spiraaleja.

 

Hullu Metafyysikko havaitsee, että tästä artikkelista, jonka piti olla kevyt ja maanläheinen, ei muodostunut kovinkaan maanläheistä. Matemaattisten abstraktioiden viehätystä lienee mahdotonta selittää niille yksilöille, joiden tunne-elämä ei ole synnynnäisesti nyrjähtänyt sopivaan suuntaan. Hullu Metafyysikko on usein murehtinut, ettei tullut jo kadotetussa nuoruudessaan opiskelleeksi matematiikkaa sivuainetta laajemmin. Vaikka hänen matemaattinen ymmärryksensä on lähempänä Konsta Pylkkästä kuin oikeaa matemaatikkoa, hän saavuttaa toisinaan suurta nautintoa uppoutumalla tuntikausiksi täydellisen hyödyttömiin ja teoreettisiin matemaattisiin visioihin. Matematiikkaan varmaankin pätee sama kuin taiteeseen; ei tarvitse itse olla da Vinci nauttiakseen maalaustaiteesta, tai Mozart nauttiakseen musiikista.

 

Eräs selitys matematiikan (ja erityisesti lukuteorian) viehätysvoimalle liittyy yksinkertaisuudessa piilevään yllättävään monimutkaisuuteen. Fibonaccin lukujonon perusajatus on lapsenkin ymmärrettävissä. Silti se sisältää äärettömän syvän suhteiden ja lainalaisuuksien verkoston, jota ihmiskunta tai mikään muukaan sivilisaatio maailmankaikkeudessa ei luultavasti koskaan tule ammentamaan tyhjiin. Jos Hullu Metafyysikko onnistui herättämään lukijan tiedonhalun, laajempaa ja syvällisempää (mutta silti maallikolle ymmärrettävää) informaatiota löytyy esimerkiksi täältä.