Tällä viikolla työpaikan palaverissa Hullun Metafyysikon ajatukset harhautuivat palaverin varsinaista aihetta laajempiin sfääreihin. Palaverissa oli aiheena asiakastyytyväisyyttä mittaavan kaavakkeen suunnitteleminen. Kaavakkeessa asiakasta pyydettiin arvioimaan tyytyväisyyttään lukuarvolla. Tämä herätti keskustelua kuinka monta lukuarvoa asteikolla tulisi olla, ja onko jokainen lukuarvo tarpeen nimetä erikseen sanallisella kuvauksella. Keskustelun lopputuloksena muistaakseni oli, että asteikko muodostuu luvuista 0-5, ja ainoastaan asteikon ääripäät nimetään ”ei lainkaan tyytyväinen” ja ”erittäin tyytyväinen”.

 

Tämä herätti metafyysikon mielessä kysymyksen voisiko Jumala halutessaan antaa nimen jokaiselle lukusuoran pisteelle. Äkkiseltään ajatellen Hän varmaankin pystyisi tähän; vaikka lukusuoralla on ääretön määrä pisteitä, Jumala voisi keksiä loputtoman määrän toinen toistaan pidempiä nimiä. Mutta tarkemmin ajateltuna kysymys osoittautuu huomattavasti mutkikkaammaksi.

 

Kysymyksessä on olennaista se hämmentävä fakta, että matematiikka tuntee useita eri suuruisia äärettömyyksiä. Itse asiassa erilaiset äärettömyydet muodostavat äärettömiin jatkuvan hierarkian. Aihepiirin uranuurtajana toimi matemaatikko Georg Cantor vuosina 1845-1918. Hänen äärettömyyttä koskevat pohdintansa sekä niiden kohtaama voimakas kritiikki mahdollisesti edesauttoivat hänen sairastumistaan vaikeaan krooniseen depressioon. Jälkeenpäin on spekuloitu, onko äärettömyyden syvällinen pohtiminen vaaraksi ihmisen mielenterveydelle, vai tarvitaanko äärimmäisten ideoiden keksimiseen jo valmiiksi epävakaa mieli.

 

Äärettömyyksien perustavanlaatuisin jako vallitsee numeroituvan ja ylinumeroituvan äärettömän välillä. Numeroituvan äärettömän prototyyppi on luonnollisten lukujen (positiivisten kokonaislukujen) joukko; se ääretön, johon päädytään laskemalla 1, 2, 3, … Tätä suurempaa ylinumeroituvaa ääretöntä edustaa irrationaalilukujen joukko. Irrationaalilukuja ovat esimerkiksi piin tai kultaisen leikkauksen kaltaiset luvut, joita ei voi ilmaista murtolukuna tai äärellisenä desimaalikehitelmänä.

 

Eri suuruisten äärettömyyksien olemassaolo voidaan perustella Cantorin diagonaaliargumentilla. Argumentin perusidean ymmärtämiseksi voimme ensin pohtia, millä lailla kahden joukon kokoja voidaan ylipäänsä vertailla. Yksinkertaisin keino on laskea molempien joukkojen jäsenten lukumäärä. Jos esimerkiksi tanssisalissa on 50 naista ja 80 miestä, voimme sanoa miesten joukon olevan suurempi.

 

Mutta äärettömien joukkojen kohdalla laskeminen on ymmärrettävistä syistä vaikeampaa; äärettömässä tanssisalissa laskut menisivät väkisinkin sekaisin. Joudumme siis turvautumaan ovelampaan menetelmään. Jos komennamme miehet ja naiset muodostamaan pareja keskenään, näemme välittömästi kumpia on enemmän. Jos jäljelle jää yksikin mies, jolle ei löydy pariksi naista, miesten joukon täytyy olla suurempi. (Täsmälleen ottaen matemaatikot eivät puhu äärettömien joukkojen kohdalla suuruudesta, vaan kardinaliteetista, joka voidaan suomentaa ”mahtavuudeksi”.)

 

Cantorin diagonaaliargumentissa on ideana muodostaa pareja luonnollisista luvuista ja irrationaaliluvuista. Selkeyden vuoksi rajoitun tarkastelemaan irrationaalilukuja vain välillä 0-1. Parinmuodostus voisi tapahtua esimerkiksi seuraavasti:

 

1     0.65306...

2     0.18739...

3     0.62692...

4     0.21954...

5     0.12763...

.

.

.

 

Kolme pistettä listan oikeassa reunassa tarkoittavat, että irrationaalilukujen desimaalikehitelmät jatkuvat äärettömiin, ja kolme pistettä listan alalaidassa tarkoittavat listan jatkumista äärettömiin.

 

Äkkiseltään näyttää, että luonnollisia lukuja ja irrationaalilukuja on yhtä paljon; listassa jokaiselle luonnolliselle luvulle löytyy pariksi irrationaaliluku, ja päinvastoin. Mutta nyt sovellamme Cantorin nerokasta oivallusta. Muodostetaan uusi irrationaaliluku valitsemalla listan ensimmäisestä luvusta ensimmäinen desimaali, toisesta luvusta toinen desimaali, ja niin edelleen. (Merkitsen valitut desimaalit lihavoinnilla).

 

1     0.65306...

2     0.18739...

3     0.62692...

4     0.21954...

5     0.12763...

.

.

.

 

Tällä tavoin päädymme uuteen irrationaalilukuun 0.68653… Muokkamme tätä lukua muuttamalla sen jokaista desimaalia yhden pienemmäksi, jolloin päädymme lukuun 0.57542… Nimittäkäämme tätä lukua vaikkapa luvuksi L.

 

Nyt huomaamme kummallisen asian; lukua L ei voi löytyä yllä esitetystä irrationaalilukujen listasta. Se poikkeaa listan ensimmäisestä irrationaaliluvusta ainakin ensimmäisen desimaalin kohdalla, toisesta luvusta ainakin toisen desimaalin kohdalla, ja niin edelleen. Koska listassa jokaisella luonnollisella luvulla on jo parina jokin irrationaaliluku, luvulla L ei voi olla paria luonnollisten lukujen joukossa. Irrationaalilukujen määrän on siis oltava suurempi kuin luonnollisten lukujen määrä. Ja koska luonnollisia lukuja on äärettömän monta, irrationaalilukujen täytyy edustaa korkeamman asteista (ylinumeroituvaa) äärettömyyttä.

 

Numeroituvasti äärettömien joukkojen määrittelevä piirre on, että niiden jäsenet voidaan asettaa pareittain yksi-yhteen-vastaavuuteen luonnollisten lukujen kanssa. Irrationaalilukujen joukko on ylinumeroituva, koska niitä on enemmän kuin luonnollisia lukuja, eikä niille kaikille löydy paria luonnollisten lukujen joukosta.

 

Cantorin diagonaaliargumentti on matematiikkaa pinnallisesti tuntevan amatöörin näkökulmasta kerta kaikkiaan ihastuttava; äärimmäisen nerokas ja syvällinen idea on esitetty muodossa, jonka tajuamiseen riittää peruskoulun ala-asteen matematiikka. Kun Hullu Metafyysikko tutustui diagonaaliargumenttiin ensimmäistä kertaa, hän koki eri suuruisten äärettömyyksien näkemisen suorastaan uskonnollisena valaistumisena.

 

Entä kuinka tämä kaikki liittyy alussa pohtimaamme nimikysymykseen? Kaikkien mahdollisten nimien joukko ilmeisesti on numeroituvasti ääretön. Jos annamme jokaiselle aakkoselle lukuarvon, voimme muuntaa nimet luonnollisiksi luvuiksi, jotka muodostavat osajoukon kaikkien luonnollisten lukujen numeroituvassa joukossa. Koska lukusuoran pisteiden joukko (johon luetaan mukaan irrationaaliluvut) on ylinumeroituvasti ääretön, kaikille lukusuoran pisteille ei voi löytyä nimeä, vaikka itse Jumala olisi nimiä keksimässä.

 

Edellä kuvatussa päätelmässä on kuitenkin porsaanreikänä, että Jumala voisi käyttää äärettömän pitkiä ”irrationaalisia nimiä”. Hän voisi nimetä irrationaaliluvun esimerkiksi korvaamalla desimaalikehitelmässä numeron ”1” kirjaimella ”A”, numeron ”2” kirjaimella ”B”, ja niin edelleen. Mutta tuntuu varsin epäselvältä, olisivatko tällaiset äärettömät ja rakenteeltaan epäsäännölliset kirjainrimpsut varsinaisia nimiä sinä mielessä, mitä käsitteellä ”nimi” yleensä tarkoitetaan. Ainakaan niillä ei voisi olla missään kielessä minkäänlaista ymmärrettävää merkitystä.