Välikevennyksenä kosmologisten kysymysten lomassa Hullu Metafyysikko tarkastelee supertehtävinä (supertask) tunnettuja matemaattisia paradokseja. Supertehtävällä tarkoitetaan äärettömän monesta välivaiheesta koostuvaa operaatiota. 

 

Antiikin Kreikassa viidennellä vuosisadalla eKr elänyt Zenon pohdiskeli Akhilleuksen ja kilpikonnan kilpajuoksua. Koska Akhilleus tunnettiin fyysisesti huomattavan suorituskykyisenä yksilönä, ja koska kilpikonna taas ei ole tunnettu nopeudestaan, tuntuisi reilulta antaa kilpikonnalle jonkin verran etumatkaa. Oletetaan, että Akhilleus aloittaa juoksunsa kohdasta 0 ja kilpikonna kohdasta x₁. Kun Akhilleus hetkeä myöhemmin saapuu kohtaan x₁, kilpikonna on edennyt kohtaan x₂. Akhilleuksen saapuessa kohtaan x₂ kilpikonna on edennyt kohtaan x₃. Tätä päätelmää voidaan selvästi jatkaa äärettömiin; kilpikonna on aina edennyt vähän matkaa eteenpäin Akhilleuksen saavuttaessa kohdan jossa kilpikonna oli hetkeä aiemmin. Akhilleus ei siis koskaan voi ohittaa kilpikonnaa.

 

On vaikea määritellä täsmällisesti mihin paradoksin hämmentävyys perustuu. Eräs mahdollinen hämmennyksen lähde voisi olla kilpajuoksun vaatima näennäisesti ääretön aika. Akhilleus joutuu toteuttamaan äärettömän supertehtävän, jonka jokainen välivaihe on kestoltaan nollaa suurempi. Äkkiseltään ajatellen tuntuu itsestään selvältä, että äärettömän monen nollaa suuremman luvun summan on oltava ääretön.

 

Mutta tässä kohtaa matemaattinen intuitio osoittautuu petolliseksi. Paradoksille yleisesti esitetty ratkaisu perustuu lukusarjojen suppenemiseen. Tarkastellaan esimerkiksi ääretöntä yhteenlaskutehtävää 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + … Äärettömyydessä saavutettava summa on 1.111…, joka on selvästi pienempi kuin esimerkiksi 1.2. Vastavaalla tavalla Akhilleuksen supertehtävässä välivaiheiden kestot muodostavat yhteenlaskettuna äärellisen suuruisen summan. Koska antiikin Kreikassa ei tunnettu suppenevia lukusarjoja, paradoksi hämmensi filosofeja vuosisatojen ajan.

 

Tuntuu kuitenkin epäselvältä, ratkaiseeko matemaattinen edistyksemme paradoksin lopullisesti. Vaikka olemme matemaattisesti todistaneet Akhilleuksen ohittavan kilpikonnan, tuntuu silti vaikealta hahmottaa, missä vaiheessa ja kuinka Akhilleus lopulta pystyy tämän tekemään. Akhilleus ei ilmeisesti voi ohittaa kilpikonnaa ennen kuin hän on ohittanut viimeisen pisteen x_n. Mutta mitään viimeistä x_n:ää ei selvästikään ole olemassa; minkä tahansa pisteen x_n jälkeen kilpikonna on siirtynyt uuteen pisteeseen x_n+1. Kilpajuoksussa ei näytä olevan ongelmana pelkästään sen näennäisesti vaatima ääretön aika, vaan kilpikonnan jonkinlainen looginen etulyöntiasema Akhilleukseen nähden.

 

John Littlewoodin vuonna 1954 keksimä Balls and Vase -problem osoittautuu, jos mahdollista, vieläkin kovemmaksi pähkinäksi. Kuvitellaan ääretön määrä palloja, joiden jokaisen kylkeen on kirjoitettu järjestysnumero. Tehtävän ensimmäisessä vaiheessa laitetaan astiaan pallot 1-10 ja otetaan pallo 1 pois astiasta. Toisessa vaiheessa laitetaan astiaan pallot 11-20 ja otetaan pallo 2 pois astiasta. Tällaisia vaiheita toteutetaan äärettömän monta. Jos lukija ei malta käyttää tehtävään ääretöntä ajanjaksoa, hän voi tiivistää tehtävää esimerkiksi toteuttamalla ensimmäisen vaiheen yhden sekunnin kuluessa, toisen vaiheen puolen sekunnin kuluessa, kolmannen vaiheen neljäsosasekunnin kuluessa, ja niin edelleen. Tällä tavalla riittävän näppäräsorminen kokeellisen filosofian harrastaja voi toteuttaa äärettömän määrän vaiheita kahden sekunnin aikana.

 

Kuinka monta palloa astiassa on supertehtävän valmistuttua? Koska astiassa olevien pallojen määrä lisääntyy jokaisessa vaiheessa yhdeksällä, astiassa ilmeisesti on tehtävän päätyttyä ääretön määrä palloja. Mutta toisaalta jokainen pallo tulee vuorollaan poistetuksi astiasta; vaiheessa 1 poistetaan ensimmäinen pallo, vaiheessa 2 toinen pallo, ja niin edelleen. Siis astiassa ei voi tehtävän päätyttyä olla yhtään palloa.

 

Lukijan ei kannata masentua, vaikkei keksisikään paradoksin ratkaisua. Kukaan muukaan ei ole sitä tähän päivään mennessä keksinyt. (Erilaisia ratkaisu-yrityksiä on kyllä olemassa, mutta mikään niistä ei nauti yleistä hyväksyntää.)

 

Erityisen maagisia vivahteita sisältyy J. A. Bernadete :n keksimään jumalten paradoksiin. Oletetaan, että Reiska päättää kävellä kilometrin mittaisen matkan. Reiskan harmiksi on olemassa ääretön määrä jumaluuksia, jotka päättävät estää hänen matkansa. Ensimmäinen jumaluus päättää pysäyttää Reiskan, mikäli hän etenee matkan puoliväliin (500 metrin kohdalle). Toinen jumaluus päättää pysäyttää Reiskan, mikäli hän etenee 250 metriä. Ja niin edelleen äärettömiin; jokainen jumaluus päättää pysäyttää Reiskan puolta lyhyemmän matkan jälkeen kuin edellinen.

 

Kuinka pitkälle Reiska nyt etenee matkallaan? Ilmeisesti hän ei voi lähteä lainkaan liikkeelle; vaikka hän liikkuisi miten lyhyen matkan tahansa, joku jumaluus pysäyttäisi hänet. Mutta kuka jumaluus hänet lopulta pysäyttää? Ensimmäinen jumaluus ei sitä tee; se on päättänyt pysäyttää Reiskan, jos tämä etenee 500 metrin kohdalle, eikä Reiska tietenkään etene sinne asti, koska ei pääse lainkaan liikkeelle. Toinen Jumaluus ei pysäytä Reiskaa, koska hän ei koskaan etene 250 metrin kohdalle. Samaa päätelmää voidaan soveltaa kaikkiin jumaluuksiin. Jollain hyvin kummallisella tavalla pelkät jumalten aikomukset estävät Reiskaa liikkumasta, vaikka yksikään jumala ei tosiasiassa pysäytä häntä.

 

Thompsonin lamppuna tunnetussa paradoksissa lamppua sytytetään ja sammutetaan kiihtyvällä nopeudella. Lampun kytkin käännetään sekunnin kuluessa on-asentoon, puolen sekunnin kuluessa off-asentoon, neljäsosasekunnin kuluessa on-asentoon, ja niin edelleen. Kahden sekunnin kuluttua kytkintä on käännetty äärettömän monta kertaa. Onko lamppu nyt päällä vai ei?

 

Thompsonin paradoksi voidaan hahmottaa äärettömänä yhteenlaskutehtävänä  1-1+1-1+1-… (Luvun ”1” lisääminen siis vastaa kytkimen kääntämistä on-asentoon, ja luvun ”1” vähentäminen kytkimen kääntämistä takaisin off-asentoon.) Mikä tämän äärettömän yhteenlaskun lopputulos mahtaa olla? Sulkuja käyttämällä lasku voidaan hahmottaa muodossa

 

(1-1) + (1-1) + …

= 0 + 0 + …

= 0

 

Mutta yhtä hyvin lasku voidaan hahmottaa muodossa

 

1 + (-1+1) + (-1+1) - ...

= 1 + 0 + 0 + …

= 1

 

 

Voimme löytää kolmannenkin ratkaisun antamalla summalle nimi S ja päättelemällä ikäänkuin takaperoisesti mikä S:n pitäisi olla:

 

S = 1-1+1-1+...

 

Jos vähennämme S:n luvusta 1, saamme

 

1-S = 1-(1-1+1-1+…)

 

Poistamalla sulut päädymme muotoon

 

1-S = 1-1+1-1+...

 

Nyt havaitsemme lausekkeen 1-S olevan sama kuin alkuperäinen S:

 

1-S = S

 

Siirtämällä negatiivisen S:n toiselle puolelle yhtäläisyysmerkkiä saamme

 

2S = 1

 

Ja jakamalla yhtälön molemmat puolet 2:lla saamme

 

S = 1/2

 

Tämä lopputulos tuntuu täydellisen absurdilta. Kuinka kokonaislukuja summaamalla ja vähentämällä voitaisiin koskaan päätyä murtolukuun? Thompsonin lamppuun sovellettuna lopputulos tuntuu vähintään yhtä järjettömältä; lampun ilmeisesti pitäisi olla yhtä aikaa päällä ja sammutettu.

 

Matemaattisesta näkökulmasta paradoksi voidaan mitätöidä toteamalla, että lukusarja 1-1+1-1+… ei suppene, eikä sillä siis ole mielekkäästi määriteltävää arvoa. Mutta ei tunnu lainkaan selvältä ratkaiseeko tämä lamppua koskevan paradoksin. Intuitiivisesti tuntuu selvältä, että lampun täytyy lopuksi olla joko päällä tai sammutettu, eikä summan toteaminen määrittelemättömäksi auta ymmärtämään asian laitaa.

 

Supertehtäviin liittyvät paradoksit olisi helppo ”ratkaista” julistamalla supertehtävät mahdottomiksi. Ne saattavat hyvinkin olla mahdottomia fyysisessä maailmassa. Mutta on vaikea sanoa, mikä estäisi niiden pohtimisen ajatuskokeina. On olemassa täysin järkevän tuntuisia supertehtäviä. Esimerkiksi Akhilleuksen supertehtävä hänen ohittaessaan kilpikonnan on selvästi toteutettavissa. Jos paradokseilla ylipäänsä on jokin ratkaisu, joudumme ilmeisesti etsimään ratkaisua jostain muualta kuin supertehtävien sinänsä mahdottomuudesta.

 

Hullun Metafyysikon mielestä äärettömyyden paradoksit ovat kiehtova osoitus todellisuuden pohjimmiltaan paradoksaalisesta, inhimillisen järjen ylittävästä luonteesta. Magiaa ei ole tarpeen etsiä fantasiakirjallisuudesta. Logiikan perikuvana mielletty matematiikka sisältää hämmästyttävämpää magiaa kuin yksikään kuvitelma.