Irrationaaliluvuilla tarkoitetaan lukuja joita ei voi esittää murtolukuna. Eikä niitä voi sen paremmin ilmaista myöskään desimaalilukuna; ne muodostavat äärettömiin jatkuvan jaksottoman desimaalikehitelmän. Esimerkiksi neliöjuuri kahden 65 ensimmäistä desimaalia ovat 1.4142 1356 2373 0950 4880 1688 7242 0969 8078 5696 7187 5376 9480 7317 6679 73799...

 

Mistä tällaisia eriskummallisia lukuja sitten löytyy? Luultavasti ensimmäinen irrationaaliseksi todistettu luku on edellä mainittu neliöjuuri kaksi, joka löytyy neliön lävistäjästä; jos neliön sivut ovat yhden yksikön mittaisia, neliön lävistäjä on pituudeltaan neliöjuuri kaksi. Muita tunnettuja irrationaalilukuja ovat pii (ympyrän kehän ja halkaisijan suhde), Neperin luku (luonnollisen logaritmifunktion kantaluku) sekä kultaisen leikkauksen suhde.

 

Irrationaalilukuihin liittyy hämmentävä paradoksi. Onko esimerkiksi neliön lävistäjällä jokin täsmällinen pituus? Tuntuu itsestäänselvältä että sillä on oltava jokin pituus. Mutta jos täsmällinen pituus on olemassa, miksi ihmeessä ei ole mitään keinoa ilmaista sitä täsmällisesti?

 

Jos kerran irrationaaliluvut ovat näin kummallisia, onko niitä ylipäänsä olemassa? Voisivatko irrationaalisilta näyttävät luvut osoittautua rationaalisiksi jos vain laskisimme desimaalikehitelmiä riittävän pitkälle? Ratkaistaakseen tämän visaisen pulman Hullu Metafyysikko todistaa neliöjuuri kahden irrationaalisuuden. Koska blogipohja ei salli matemaattisia symboleja merkitsen neliöjuuri kahta symbolilla NJ2 ja potenssimerkintää x potenssiin y symbolilla x^y.

 

Oletetaan että NJ2 on rationaaliluku, toisin sanoen on olemassa kaksi kokonaislukua siten että niiden suhde on NJ2. Kun tätä suhdelukua supistetaan mahdollisimman pitkälle, päästään murtolukuun a/b, siten että luvuilla a ja b ei ole yhtään yhteistä tekijää. Tämä tarkoittaa että ainakin toisen niistä täytyy olla pariton (muutoin niillä olisi yhteinen tekijä 2, jolloin murtolukua voitaisiin edelleen supistaa luvulla 2).

 

Koska a/b on alkuoletuksemme mukaa yhtä kuin NJ2, saamme toiseen potenssiin korottamalla a^2/b^2 = 2, jolloin a^2 = 2b^2. Tästä seuraa että luvun a^2 täytyy olla parillinen; se on yhtä suuri kuin 2b^2, joka on parillinen, koska mikä tahansa luku kerrottuna kahdella on parillinen. Tästä edelleen seuraa, että luvun a täytyy olla parillinen (parittoman luvun toinen potenssi ei voi koskaan olla parillinen).

 

Koska a on parillinen, täytyy olla olemassa kokonaisluku k siten että a = 2k. Tästä saamme yhtälön 2b^2 = a^2 = (2k)^2 = 4k^2, josta päästän kahdella jakamalla muotoon b^2 = 2k^2.

 

Koska b^2 = 2k^2, ja koska 2k^2 on kahdella jaollinen, siis parillinen, myös luvun b^2 on oltava parillinen, mistä seuraa että myös luvun b on oltava parillinen. Nyt olemme osoittaneet että lukujen a ja b on molempien oltava parillisia. Mutta tämä on ristiriidassa sen kanssa että luvuista a ja b ainakin toisen on oltava pariton (koska murtolukua a/b on supistettu mahdollisimman pitkälle). Nyt oletuksemme luvun NJ2 rationaalisuudesta on johtanut ristiriitaan. Näin ollen NJ2:n on oltava irrationaalinen. M.O.T.

 

Kun kerran näitä omituisia lukuja on olemassa, missä ne tarkalleen ottaen lymyilevät? Murtolukuja on lukusuoralla äärettömän tiheässä; ovatpa kaksi murtolukua miten lähellä toisiaan tahansa, niiden välistä löytyy aina jokin kolmas murtoluku. Mutta jos murtolukuja on äärettömän tiheässä, kuinka ihmeessä irrationaaliluvut mahtuvat niiden sekaan? Äkkiseltään voisi ajatella, että irrationaaliluvut lymyilevät murtolukujen väliin jäävissä äärettömän pienissä raoissa. Mutta tämä ratkaisu ei näytä lähemmin tarkasteltuna toimivan. Jotta kahden murtoluvun välissä voisi olla rako, niiden ilmeisesti täytyisi sijaita vierekkäin. Mutta kaksi murtolukua eivät koskaan voi olla vierekkäin, löytyyhän niiden välistä aina jokin kolmas murtoluku. Vaikka irrationaalilukujen mahtuminen lukusuoralle ei liene paradoksi tiukan matemaattisessa mielessä, se paljastaa ihmisaivojen soveltumattomuuden äärettömyyden hahmottamiseen.

 

Paradoksi muuttuu entistäkin oudommaksi irrationaalilukujen ylinumeroituvuuden vuoksi. Ylinumeroituvuus merkitsee että irrationaalilukuja on enemmän kuin murtolukuja, toisin sanoen irrationaalilukujen määrä edustaa korkeamman asteista äärettömyyttä. Irrationaalilukujen ylinumeroituvuus voidaan todistaa Cantorin diagonaaliargumentilla.

 

Argumentissa on ideana kahden joukon vertaileminen parinmuodostuksen avulla. Oletetaan esimerkiksi että tanssiaisissa on joukko miehiä ja joukko naisia. Joukkojen vertailu toki voitaisiin toteuttaa laskemalla. Mutta vaihtoehtoisesti joukkoja voidaan vertailla muodostamalla naisista ja miehistä pareja. Jos yhtään miestä tai naista ei jää yli, joukot ovat yhtä suuria. Samaa periaatetta voidaan käyttää äärettömien joukkojen vertailemiseen.

 

Asetetaan nyt kokonaisluvut ja irrationaaliluvut pareittain:

 

1 - 3.72549...

2 - 1,97241...

3 - 5,98345...

4 - 2,90456...

5 - 9,87434...

6 - 7,89153...

.

.

.

 

Nyt näyttää että jokaisella kokonaisluvulla on parina irrationaaliluku ja päinvastoin, toisin sanoen joukot näyttävät yhtä suurilta. Mutta nyt teemme tempun. Poimitaan ensimmäisestä irrationaaliluvusta ensimmäinen numero, toisesta toinen numero, ja niin edelleen. Päädymme irrationaalilukuun

a = 3,98433...

Muutetaan tätä lukua lisäämällä yksi jokaiseen numeroon. Päädymme irrationaalilukuun

b = 4,09544...

Nyt havaitsemme että lukua b ei löydy edellä kuvatusta listasta: Se poikkeaa listan ensimmäisestä luvusta ainakin ensimmäisen numeron osalta, toisesta luvusta ainakin toisen numeron osalta, ja niin edelleen. Ja koska lukua b ei löydy listasta, jossa kokonaisluvut ja irrationaaliluvut on asetettu pareittain, irrationaalilukuja on oltava ainakin yksi enemmän kuin kokonaislukuja.

 

Entä sitten murtoluvut? Yllättävää kyllä murtolukuja on yhtä monta kuin kokonaislukuja. (Tämä tuntuu todella paradoksaaliselta, onhan murtolukuja lukusuoralla äärettömän paljon tiheämmässä.) Tämä voidaan todistaa luettelemalla murtoluvut järjestyksessä, tyyliin 1/1, ½, 2/1, 3/1, 2/2, 1/3, ¼, 2/3, 3/2, … (Tähän järjestykseen päädytään muotoilemalla taulukko, jossa x-akselilla on murtoluvun nimittäjä ja y-akselilla osoittaja, ja käymällä taulukkoa läpi siksak-käyrää pitkin.) Kun nyt murtoluvut on lueteltu järjestyksessä, voimme asettaa jokaiselle murtoluvulle pariksi kokonaisluvun, ja päinvastoin. Murtolukuja on siis yhtä paljon kuin kokonaislukuja. Ja koska irrationaalilukuja on enemmän kuin kokonaislukuja, niitä on myös enemmän kuin murtolukuja. Tämä räjäyttää aiemmin mainitun paradoksin uusiin sfääreihin. Murtolukuja on äärettömän tiheässä, mutta silti lukusuoralle jotenkin mahtuu vielä suurempi äärettömyys irrationaalilukuja.

 

Matemaatikot ovat luokitelleet irrationaalilukuja eri tavoin. Esimerkiksi piin arvellaan olevan niinsanottu "normaali luku", eli se muodostuu äärettömästä desimaalikehitelmästä, jossa numerot jakautuvat satunnaisesti. Tämä tarkoittaa, että desimaalikehitelmästä löytyy jostain kohtaa mikä tahansa äärellisen mittainen lukusarja. (Tästä seuraa mielenkiintoinen seikka, että jos piin desimaalit tulkitaan pikselien kirkkausarvoiksi, jostain kohtaa piistä löytyy esimerkiksi kuva Hullun Metafyysikon kasvoista. Tai jos desimaalit koodataan kirjaimiksi, jostain kohtaa piitä löytyy kirja, joka sisältää perimmäisen totuuden maailmankaikkeudesta.) Normaaleja lukuja sanotaan "normaaleiksi", koska melkein kaikki luvut ovat sellaisia. Kuitenkin jonkin tietyn luvun todistaminen normaaliksi on erittäin hankalaa. Esimerkiksi piin kohdalla tätä ei olla todistettu. Olisi siis periaatteessa mahdollista, että jossain kohtaa piin desimaalikehitelmässä tulee raja, jonka jälkeen se sisältää esimerkiksi vain numeroita 0 ja 1.

Normaaleilla luvuilla on hassu ominaisuus, että mikä tahansa positiivinen luku voidaan esittää kahden normaalin luvun tulona. Jos valitsemme väliltä [0,1] jonkin satunnaisen luvun x, se on hyvin suurella todennäköisyydellä normaali (koska melkein kaikki luvut ovat normaaleja). Tällöin esimerkiksi 5/x on myös normaali, ja 5 = x * 5/x.

Piin on todistettu olevan niinsanottu "transsendentaalinen luku", eli se ei ole minkään rationaalikertoimisen polynomin nollakohta. (Esimerkiksi kahden neliöjuuri ei ole transsendentaalinen, koska se on polynomin x^2 - 2 = 0 nollakohta.) Normaalien lukujen tapaan myös transsendentaaliset luvut ovat hyvin yleisiä, mutta jotain tiettyä lukua on vaikea osoittaa sellaiseksi. Joitain yksittäisiä transsendentaalisia lukuja piin lisäksi tunnetaan, esimerkiksi Liouvillen vakio 0.110001000000000000000001000... Ne luvut, jotka eivät ole transsendentaalisia, ovat algebrallisia (toisin sanottuna rationaalikertoimisten polynomien nollakohtia).

On otaksuttu, että kaikki algebralliset luvut ovat normaaleja, mutta tätä ei olla todistettu. Transsendentaaliset luvut taas voivat olla joko normaaleja tai ei-normaaleja. (Esimerkiksi edellä mainittu Liouvillen vakio on ei-normaali transsendentaalinen luku.) Algebrallisten lukujen määrä on numeroituvasti ääretön, ja transsendentaalisten määrä ylinumeroituvasti ääretön. (Numeroituva ääretön siis on se pienin ääretön, johon päästään laskemalla 1, 2, 3, ... ja ylinumeroituva ääretön on siitä seuraavaksi suurempi äärettömyyden aste.) Eli ilmeisesti suurin osa luvuista on sekä normaaleja että transsendentaalisia – huolimatta siitä, että minkä tahansa tietyn luvun osoittaminen tällaiseksi on hyvin vaikeaa.

 

Nämä lukusuoraa koskevat tarkastelut tuovat mieleen kiintoisan vastaavuuden tähtitieteeseen. Ne tähdet jotka voimme nähdä paljain silmin ovat kaikkien tähtien joukossa harvinaisia jättiläistähtiä. Kaikkein yleisimmät tähdet – punaiset kääpiötähdet – ovat nähtävissä vain kaukoputkella. Vastaavalla tavalla ne luvut jotka voimme helposti ”nähdä” - kokonais- ja murtoluvut – ovat kaikkien lukujen joukossa harvinaisia.

 

Lukusuora on ensi silmäyksellä äärimmäisen yksinkertainen matemaattinen käsite, jonka jokainen tuleva matemaatikko oppii peruskoulun esimmäisillä luokilla. Kuitenkin se sisältää lähemmin tutkittuna äärimmäisen hämäräperäistä tavaraa jota edes huippuluokan matemaatikot eivät täysin ymmärrä. Tämä paljastaa kiehtovalla tavalla näennäiseen yksinkertaisuuteen kätkeytyvän odottamattoman monimutkaisuuden.