Ennen toista itsemurhaansa Hullu Metafyysikko palaa hetkeksi pohdiskelemaan totuuden arvoituksia. Aiemmassa artikkelissa käsittelin Valehtelijan Lausetta ”tämä lause on valhetta”. Tätä muistuttava, mutta kenties vieläkin kummallisempi lause voitaisiin nimetä Todistajan Lauseeksi:

 

”Tätä lausetta ei voida todistaa.”

 

Voidaanko Todistajan Lause todistaa vai ei? Jos se voidaan todistaa, sen täytyy olla totta. Mutta tässä tapauksessa se mitä lause sanoo itsestään pitää paikkansa – eli sitä ei voida todistaa. Oletus, että lause on todistettavissa, johtaa siis loogiseen ristiriitaan. Ainoaksi vaihtoehdoksi jää, että lause ei ole todistettavissa.

 

Nyt asiat muuttuvat kummallisiksi. Edellisessä kappaleessa esitetyn päätelmän perusteella tiedämme Todistajan Lauseen olevan tosi; lause on oikeassa väittäessään, että sitä ei voida todistaa. Mutta eikö edellinen kappale näinollen toimi todistuksena Todistajan Lauseelle? Tätä emme voi myöntää päätymättä uudelleen paradoksiin. Olemme juuttuneet kummalliseen noidankehään. Tiedämme Todistajan Lauseen olevan tosi, mutta kuitenkaan emme voi sanoa todistaneemme sitä.

 

Tämä hämmentävä lopputulos kertoo totuuden olemuksesta jotain uutta ja olennaista. On olemassa tosia lauseita, joiden totuus ei ole periaatteessakaan todistettavissa. Totuus näyttää leijailevan jossain mystisessä ulottuvuudessa rationaalisen päättelykykymme yläpuolella.

 

Asiaa voidaan havainnollistaa erilaisilla ajatusleikeillä. Kuvitellaan totuusrobotti, jonka sähköaivoihin on tallennettu täydellinen totuuden määritelmä. Totuusrobotille ojennetaan paperilappuja, joihin on kirjoitettu joko tosia tai epätosia väitteitä. Jos lapussa on tosi väite, robotti laittaa sen arkistokaappiin. Jos lapussa on epätosi väite, robotti heittää sen roskakoriin.

 

Entä jos annamme robotille lapun, jossa lukee ”totuusrobotti heittää tämän lapun roskakoriin”? Jos robotti heittää lapun roskakoriin, se tajuaa tehneensä virheen – lappu olisikin pitänyt laittaa arkistokaappiin. Jos robotti laittaa lapun arkistokaappiin, se tajuaa tehneensä taas virheen – lappu olisi pitänyt heittää roskikseen. Robottiparka juuttuu pohtimaan tätä ratkeamatonta paradoksia, kunnes sen sähköaivot ylikuumenevat ja sulavat kipinöiväksi massaksi. (Toivottavasti lukija antaa Hullulle Metafyysikolle anteeksi hänen julmuutensa robotteja kohtaan.)

 

Nyt näemme lapulle kirjoitetun lauseen itse asiassa olevan tosi; robotti ei heitä lappua roskakoriin. Kuitenkaan robotti ei voi itse koskaan ratkaista lauseen totuusarvoa. Tämä on ristiriidassa sen oletuksemme kanssa, että robotin sähköaivoissa on tallennettuna täydellinen totuuden määritelmä. Käsitettä ”totuus” ei siis voi koskaan kiteyttää mihinkään kaavaan tai tietokokoelmaan. 

 

Ajatuskokeen toisena versiona voimme pohtia Totuuskirjaa. Kuvitellaan että Jumala päättäisi kirjoittaa kirjan, joka sisältää jokaisen toden lauseen. Kirjasta ilmeisesti tulisi äärettömän pitkä; se sisältäisi äärettömän monta eripituista lausetta äärettömän monella kielellä. Voimme selkeyttää tilannetta vaikkapa rajaamalla lauseet alle sata kirjainta pitkiksi ja savonkielisiksi. Äkkiseltään ajatellen tuntuu itsestäänselvältä, että Jumala voisi kirjoittaa tällaisen kirjan. Hän voisi ensin kirjoittaa kaikki alle sata kirjainta pitkät kirjainyhdistelmät, sitten deletoida ne jotka eivät ole savonkielisiä, ja lopuksi deletoida kaikki ne jotka eivät ole tosia. Mutta mitä Jumalan pitäisi tehdä lauseelle ”Tämä lause ei olla möllötä tottuuskirjassa”? Jos Hän ei kirjoittaisi lausetta totuuskirjaan, lause olisi tosi, joten Hänen olisi pitänyt kirjoittaa se. Ja jos Hän kirjoittaisi sen, Hänen ei olisi pitänyt kirjoittaa sitä.

 

Sivumennen sanoen, vastaava paradoksi pätee myös lauseeseen ”Tämä lause olla möllöttääpi tottuuskirjassa”. Jos lause ei olisi totuuskirjassa, sen ei pitäisikään olla siellä, ja jos se olisi totuuskirjassa, sen pitäisi olla siellä. Totuuskirjasta olisi siis kaksi vaihtoehtoista versiota, joiden välillä edes Jumala ei voisi tehdä rationaalista valintaa.

 

Totuuskirjasta tietenkin voisi olla useita päivitettyjä versioita. Esimerkiksi Totuuskirja II :ssa voisi olla lause ”Tätä lausetta ei löydy totuuskirja I :stä”. Tämä tuo mieleen Alfred Tarskin ehdottaman totuuskäsitteiden äärettömän ketjun, jota pohdimme aiemmassa artikkelissa. Mutta edes ääretön ketju päivitettyjä totuuskirjoja ei ratkaisisi paradoksia. Lause ”Tätä lausetta ei löydy mistään totuuskirjan versiosta” säilyisi paradoksaalisena.

 

Matemaatikko Kurt Gödel järkytti kaikkia maailman matemaatikkoja kääntämällä Todistajan Lauseen matemaattiselle kielelle. Hän kehitti Gödel-numerointina tunnetun menetelmän, jossa erilaiset loogiset väitelauseet (kuten ”tämä lause on tosi”) voidaan ilmaista kokonaislukuina. Tällä tavoin hän onnistui todistamaan epätäydellisyysteoreemana tunnetun tuloksen; lukuteoria sisältää tosia väitteitä, joita ei voida koskaan todistaa tosiksi.

 

Asian hahmottamista helpottanee, jos Hullu Metafyysikko tarkastelee käytännön esimerkkiä lukuteoreettisesta todistuksesta. Alkuluvulla tarkoitetaan lukua, joka on jaollinen vain itsellään ja yhdellä. Alkulukuja ovat esimerkiksi 2, 3, 5, 7, 11, ... Ne luvut jotka eivät ole alkulukuja, ovat yhdistettyjä lukuja; ne voidaan ilmaista alkulukujen tulona. 

 

Kuinka monta alkulukua on olemassa? Alkulukujen määrä on todistettavissa äärettömäksi reductio ad absurdum -menetelmällä; oletamme aluksi, että alkulukuja ei ole äärettömän monta, ja johdamme tästä oletuksesta ristiriidan. Jos alkulukuja ei ole äärettömän monta, on oltava olemassa jokin kaikkein suurin alkuluku. Antakaamme sille nimeksi S. Nyt muodostamme uuden luvun Q kertomalla keskenään S:n ja kaikki sitä pienemmät alkuluvut, ja lisäämällä lopputulokseen luvun 1. Toisin sanoen Q = (2*3*5*7*11* … *S) +1. Nyt näemme, että Q ei voi olla jaollinen S:llä eikä millään S:ää pienemmällä alkuluvulla; jakojäännökseksi jää aina 1. Q:n on siis oltava S:ää suurempi alkuluku, tai yhdistetty luku, joka on jaollinen jollain S:ää suuremmalla alkuluvulla. Tämä on ristiriidassa sen oletuksemme kanssa, että S olisi kaikkein suurin alkuluku. Koska ei siis ole olemassa kaikkein suurinta alkulukua, on alkulukujen määrän oltava ääretön. M.O.T.

 

Vaikka alkulukujen määrä on helposti pääteltävissä, alkulukuihin liittyy monia suunnattoman vaikeita kysymyksiä, joita parhaatkaan matemaatikot eivät ole pystyneet ratkaisemaan. Alkuluvuilla on kummallinen taipumus esiintyä pareittain. Alkulukupari tarkoittaa kahta alkulukua, joiden välissä on yksi parillinen luku, esimerkiksi 11&13 tai 29&31. (Jos alkuluvuilla on sukupuoli, niiden pariutumistaipumus ehkä johtuu seksuaalisesta tai romanttisesta vetovoimasta.) Kukaan ei ole toistaiseksi onnistunut todistamaan, onko alkulukuparien määrä äärellinen vai ääretön.

 

Alkulukupareja on löydetty suunnattoman kaukaisilta lukusuoran alueilta: Suurin tunnettu alkulukupari on 3756801695685*2⁶⁶⁶⁶⁶⁹-1 & 3756801695685*2⁶⁶⁶⁶⁶⁹+1. Nämä luvut ovat kerta kaikkiaan hirviömäisen suuria; kirjoitettuna ilman potenssimerkintöjä niissä olisi yli kaksisataatuhatta numeroa. Kuitenkaan tämä ei todista alkulukuparien määrän äärettömyyttä. Ne voisivat loppua jossain äärimmäisen kaukaisella lukusuoran alueella, jota ihmiskunta tai mikään sivilisaatio maailmankaikkeudessa ei kykene koskaan tutkimaan.

 

Alkulukuparien ääretön määrä saattaa olla Gödelin mainitsema tosi mutta ei-todistettava matemaattinen väite. Vaikka emme saisi koskaan tietää, onko alkulukupareja äärettömän monta, tuntuu kuitenkin itsestään selvältä, että jonkin yksikäsitteisen totuuden on oltava olemassa; suurin alkulukupari joko on olemassa tai ei ole. Jos Jumala pystyisi näkemään ”yhdellä silmäyksellä” koko lukusuoran, Hän saisi tietää totuuden. Tämä ajatus johtaa jännittävään eroon ”näkemisen” ja ”todistamisen” välillä. Vaikka Jumala näkisi vastauksen alkulukuparien arvoitukseen, edes Hän ei voisi rationaalisesti todistaa sitä.

 

Matematiikan filosofiassa kiistellään kysymyksestä, missä matemaattiset oliot (kuten luvut) oikeastaan sijaitsevat. Ovatko ne osa ihmisen psyykeä, vai ovatko ne olemassa jossain ihmisen ulkopuolella? Gödelin epätäydellisyysteoreema näyttää tukevan jälkimmäistä vaihtoehtoa. Jos matematiikka sijaitsisi ihmisen psyykessä, kuinka se voisi sisältää totuuksia, joita ihminen ei voi koskaan saada selville? 

 

Matematiikka tuntuu olevan paitsi ihmisen psyyken ulkopuolella, myös aineellisen maailman ulkopuolella. Matematiikka sisältää äärettömiä ja jopa ääretöntä suurempia lukuja. Myös Mandelbrotin joukon kaltaiset fraktaaligeometriset kuviot ovat äärettömiä. On vaikea kuvitella, kuinka tällaiset oliot voisivat mahtua aineelliseen maailmankaikkeuteen.

 

Jos matemaattiset oliot majailevat aineellisen maailman ulkopuolella, herää hämmentävä kysymys kuinka me oikeastaan voimme saada niistä tietoa. Yleensä tiedon saaminen vaatii kausaalista vuorovaikutusta aistielimiemme ja tiedon kohteen välillä. Esimerkiksi näköaisti perustuu valon kulkuun silmieni ja aineellisten kappaleiden välillä. Mutta matemaattiset oliot eivät selvästikään heijasta valoa. Onko matematiikassa siis kyse yliaistillisesta havaitsemisesta?

 

Tähän kysymykseen ei tietääkseni olla saavutettu yleisesti hyväksyttyä vastausta. Hullun Metafyysikon suosima vastaus kääntää koko maailmankuvamme nurinniskoin. Aineellinen maailma ei ole enempää eikä vähempää kuin matemaattinen olio. Me ihmiset voimme havaita matemaattisia olioita, koska itsekin olemme sellaisia. Maailmankaikkeus on jättimäinen matemaattinen yhtälö, joka tiedostaa oman olemassaolonsa. Minä ja sinä olemme osa tätä matemaattista itsetiedostusta.

 

Solipsismia käsittelevässä artikkelissa kerroin perustavanlaatuisesta kuilusta tietoisuutemme ja ulkomaailman välillä. Emme koskaan voi saavuttaa varmaa tietoa ulkomaailman olemassaolosta tai ominaisuuksista. Matemaattinen tieto sen sijaan näyttää täydellisen luotettavalta. Vaikka elämä olisi unta, unessa tekemäni päätelmä ”2+2=4” olisi yhtä luotettava kuin hereillä tekemäni. Jos matematiikka on lopulta ainoa olemassaoleva todellisuus, kuilu ulkomaailman ja tietoisuutemme välillä näyttää hälvenevän. Ne matemaattiset oliot joita tutkimme tietoisuudessamme, ja se aistimusmaailma, jonka havaitsemme tietoisuutemme ulkopuolella, voisivat olla kaksi näkökulmaa pohjimmiltaan samaan asiaan.

 

Olemme nyt päätyneet valehtelijan paradoksista aineellisen maailman olemassaolon kieltämiseen. Koska lukija ei liene vielä täysin vakuuttunut lopputuloksesta, Hullu Metafyysikko aikoo jatkaa käännytystyötä tulevissa artikkeleissa.